Дашбоард
Календарь
Чаты
Конспект
Приложения
Мои задания
О нас
Настройки
Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа
Числа окружают нас повсюду, начиная с простого счёта и заканчивая сложными вычислениями. Для удобства математики разделяют числа на группы: натуральные, целые, рациональные и иррациональные. Каждая из них имеет свои особенности, примеры и применение.
Натуральные числа
Натуральные числа — это числа, используемые для счёта и упорядочивания. Они формируют бесконечное множество чисел, начиная с единицы и увеличиваясь на единицу на каждом следующем шаге.
Целые числа
Целые числа играют ключевую роль в математике и повседневной жизни. Они позволяют представлять количество, положение, баланс и множество других понятий. Целые числа — это один из базовых объектов в алгебре и числовых вычислениях, на основе которых строятся более сложные математические концепции.
Рациональные числа
Рациональные числа являются важным расширением множества целых чисел. Они позволяют записывать дробные значения, которые встречаются повсеместно в математике и реальной жизни: измерение длины, времени, скорости, пропорции и многого другого.
Иррациональные числа
Иррациональные числа — это числа, которые невозможно выразить в виде дроби p/q, где p и q— целые числа, а q ≠ 0. Они дополняют рациональные числа и составляют вместе с ними множество вещественных чисел. Иррациональные числа часто встречаются в геометрии, физике и других областях математики.
Десятичные дроби и проценты
Десятичные дроби и проценты — это инструменты, которые активно используются в математике и в повседневной жизни. Они позволяют удобно представлять и сравнивать части от целого, измерять изменения и выражать пропорции.
Десятичная дробь
Десятичная дробь — это форма записи дробей, где знаменатель является степенью десяти (например, 10 , 100 , 1000 ). Десятичные дроби представляют части целого числа и широко используются в математике, науке, инженерии и повседневной жизни.
Проценты
Процент — это одна сотая часть числа, обозначается символом %. Проценты используются для выражения долей, соотношений, изменений и увеличений. Они широко применяются в математике, финансах, статистике и повседневной жизни.
Арифметические действия с числами
Арифметические действия являются основой математики и используются для выполнения операций с числами. К основным действиям относятся сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции применяются для решения задач из повседневной жизни, науки и техники.
Сложение
Сложение — это базовая арифметическая операция, суть которой заключается в объединении двух или более чисел в одно общее значение, называемое суммой. Эта операция является одной из самых простых и важных в математике, активно используемой в повседневной жизни.
Вычитание
Вычитание — это базовая арифметическая операция, которая заключается в нахождении разности между двумя числами. Вычитание используется для определения остатка, нахождения недостающего значения и решения множества практических задач.
Умножение
Умножение — это базовая арифметическая операция, представляющая собой повторяющееся сложение одного числа несколько раз. Умножение является основой для многих сложных математических операций и широко используется в повседневной жизни.
Деление
Деление — это базовая арифметическая операция, которая заключается в нахождении, сколько раз одно число (делитель) содержится в другом (делимое). Деление используется для распределения, деления на равные части и решения задач обратных умножению.
Делимость чисел
Делимость чисел — это одна из фундаментальных тем в арифметике, которая изучает, когда одно число делится на другое без остатка. Эта концепция лежит в основе определения простых и составных чисел.
Простые числа
Простое число — это фундаментальное понятие в теории чисел, играющее важную роль в математике, криптографии и науке. Простые числа являются “строительными блоками” для составных чисел, так как любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей.
Составное число
Составное число — это натуральное число, которое можно разделить на большее количество делителей, чем 1 и само себя. Составные числа являются противоположностью простых чисел и составляют основу разложения чисел на множители
Степени и корни
Степени и корни — это базовые математические операции, которые широко используются в алгебре, геометрии, физике и других науках. Возведение в степень позволяет компактно записывать повторяющееся умножение, а извлечение корня — решать обратную задачу.
Степень числа
Степень числа — это компактная запись повторяющегося умножения одного числа на само себя. Возведение в степень позволяет быстро вычислять результаты таких операций и широко используется в алгебре, геометрии, физике и других областях.
Корень из числа
Корень из числа — это математическая операция, обратная возведению в степень. Извлечение корня позволяет найти такое число, которое при возведении в заданную степень даёт исходное значение. Корни широко применяются в алгебре, геометрии, физике и других науках.
Алгебраические выражения
Алгебраическое выражение — это математическая запись, состоящая из чисел, переменных и операций над ними. Алгебраические выражения позволяют записывать формулы, уравнения и зависимости между величинами.
Моном
Моном — это простейший вид алгебраического выражения, который состоит из одного члена, представляющего произведение числового коэффициента и переменных, возведённых в натуральные степени. Мономы — важный элемент алгебры, на основе которых строятся более сложные выражения, такие как многочлены.
Бином
Бином — это алгебраическое выражение, состоящее из двух членов, соединённых знаком сложения или вычитания. Биномы широко применяются в алгебре для упрощения выражений, вычислений, а также в решении уравнений и задач.
Многочлен
Многочлен — это алгебраическое выражение, которое состоит из суммы или разности нескольких мономов. Многочлены широко используются в алгебре для моделирования, анализа функций, нахождения корней уравнений и решения других задач.
Одночлены и многочлены
Одночлены и многочлены — это основные элементы алгебры, которые используются для представления и анализа математических выражений. Они составляют основу для работы с уравнениями, неравенствами и функциями.
Виды одночленов
Одночлен — это базовый элемент алгебры, представляющий собой произведение числового коэффициента и переменных, возведённых в степени. Одночлены используются для построения более сложных алгебраических выражений, таких как многочлены.
Формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это специальные математические формулы, которые позволяют быстро преобразовывать выражения и выполнять упрощение алгебраических выражений. Они широко используются в алгебре для вычислений, разложения на множители и решения уравнений.
Квадрат суммы
Квадрат суммы — это одна из базовых формул сокращённого умножения, которая упрощает возведение в квадрат суммы двух выражений. Формула широко используется для упрощения алгебраических выражений, разложения на множители и решения задач.
Квадрат разности
Квадрат разности — это важная формула сокращённого умножения, которая упрощает возведение в квадрат разности двух выражений. Формула используется для упрощения алгебраических выражений, вычислений и разложения на множители.
Разность квадратов
Разность квадратов — это одна из формул сокращённого умножения, которая позволяет разложить разность квадратов двух выражений на произведение их суммы и разности. Эта формула широко используется для упрощения выражений, разложения на множители и решения уравнений.
Куб суммы
Куб суммы — это одна из формул сокращённого умножения, которая упрощает возведение в третью степень суммы двух выражений. Эта формула используется для упрощения алгебраических выражений, вычислений и преобразований.
Куб разности
Куб разности — это одна из формул сокращённого умножения, которая используется для упрощения возведения в третью степень разности двух выражений. Формула помогает быстро раскрывать выражения и применять их для решения задач.
Сумма кубов
Сумма кубов — это формула сокращённого умножения, которая позволяет разложить сумму кубов двух выражений на произведение. Эта формула упрощает алгебраические преобразования и разложение на множители.
Разность кубов
Разность кубов — это формула сокращённого умножения, которая позволяет разложить разность кубов двух выражений на произведение. Формула упрощает преобразование алгебраических выражений и разложение на множители.
Упрощение алгебраических выражений
Упрощение алгебраических выражений — это процесс приведения выражения к более компактному и удобному виду. Оно включает выполнение арифметических операций, объединение подобных членов, использование формул сокращённого умножения и других математических правил.
Разложение многочленов на множители
Разложение многочленов на множители — это преобразование многочлена в произведение нескольких более простых выражений. Этот процесс важен для упрощения уравнений, вычислений и анализа свойств функций.
Уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства — это фундаментальные понятия алгебры, которые описывают математические зависимости между величинами. Уравнения позволяют находить неизвестные значения, а неравенства помогают анализировать диапазоны возможных значений.
Уравнение
Уравнение — это математическое выражение, в котором два выражения равны между собой. Решение уравнения заключается в нахождении всех значений переменных, при которых это равенство выполняется.
Неравенства
Неравенство — это математическое выражение, в котором одна часть выражения больше, меньше или не равна другой. Решение неравенства позволяет определить диапазон значений переменных, при которых данное условие выполняется.
Линейные уравнения
Линейное уравнение — это уравнение первой степени, где переменная встречается только в первой степени, и её коэффициенты — числа. Линейные уравнения являются основой алгебры и используются для описания простых зависимостей между величинами.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение второй степени, в котором переменная возводится в квадрат. Эти уравнения часто встречаются в алгебре, геометрии и физике при описании различных зависимостей.
Рациональные уравнения
Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие дроби, числитель и знаменатель которых могут быть многочленами. Такие уравнения часто встречаются в задачах физики, экономики и инженерии.
Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменные под знаком корня. Решение таких уравнений связано с использованием методов возведения в степень и проверки условий на допустимые значения.
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения — это уравнения, содержащие тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) переменной. Решение тригонометрических уравнений позволяет находить углы или значения, удовлетворяющие заданным условиям.
Экспоненциальные уравнения
Экспоненциальные уравнения — это уравнения, в которых переменная находится в показателе степени. Такие уравнения часто встречаются в задачах, связанных с ростом, затуханием процессов, финансами и физическими законами.
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие логарифмы переменных. Их решение основывается на свойствах логарифмов и преобразованиях. Такие уравнения широко применяются в математике, физике и других науках.
Линейные неравенства
Линейные неравенства — это неравенства, в которых переменная находится в первой степени. Они являются базовым инструментом алгебры и используются для определения диапазонов значений переменных.
Квадратные неравенства
Квадратные неравенства — это неравенства, в которых переменная находится в квадрате. Такие неравенства имеют вид: a x 2 + b x + c □ 0 , где □ — один из знаков ( > , < , ≥ , ≤ ). Решение квадратных неравенств связано с анализом графика квадратичной функции и нахождением её интервалов знакоположительности или знакоотрицательности.
Рациональные неравенства
Рациональные неравенства — это неравенства, в которых переменная содержится в числителе или знаменателе дроби. Их решение связано с нахождением области допустимых значений (ОДЗ) и анализом знаков выражений на различных интервалах.
Система неравенств
Система неравенств — это совокупность двух или более неравенств, которые необходимо решить одновременно. Решение системы заключается в нахождении пересечения решений каждого неравенства.
Функции
Функция — это зависимость, при которой каждому значению переменной x (аргументу) соответствует единственное значение y (значение функции). Функции играют важную роль в математике, так как они описывают различные явления и зависимости.
Квадратные уравнения 8 класс
Квадратное уравнение (8 класс) — это уравнение вида: a x 2 + b x + c = 0 , где: a , b , c — числа, называемые коэффициентами, x — переменная, a ≠ 0 (иначе уравнение станет линейным).
Рациональные уравнения 8 класс
Рациональные уравнения (8 класс) — это уравнения, содержащие дроби, числитель и/или знаменатель которых являются алгебраическими выражениями. Такие уравнения решаются с использованием методов приведения к общему знаменателю, логических преобразований и проверки условий допустимости.
Биквадратные уравнения 8 класс
Биквадратные уравнения — это уравнения вида: a*x^4 + b*x^2 + c = 0 , где: a , b , c — числа (коэффициенты), x^4 и x^2 — степени переменной. Решение биквадратного уравнения похоже на решение квадратного уравнения, только сначала нужно сделать замену переменной.
Биквадратные уравнения
Биквадратные уравнения — это уравнения вида: a*x^4 + b*x^2 + c = 0 , где: a , b , c — коэффициенты, a ≠ 0 , переменная x находится только в четвёртой ( x^4 ) и второй ( x^2 ) степенях. Решение биквадратного уравнения сводится к решению квадратного уравнения с заменой переменной.
Уравнения 8 класс
Уравнение (8 класс) — это математическое выражение, в котором две части связаны знаком равенства. Решение уравнения — это значение переменной, при котором равенство становится верным.
Линейные уравнения 8 класс
Линейное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится в первой степени, а его общий вид: a x + b = 0 , где: a и b — числа (коэффициенты), a ≠ 0 , x — переменная.
Понятие функции. Область определения и область значений
Функция — это зависимость, при которой каждому значению одной переменной (аргумента) соответствует ровно одно значение другой переменной (функции).
Область определения функции
Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x ), при которых выражение функции имеет смысл. Обозначается как D ( f ) . Функция определяется только в тех точках, где математическое выражение не содержит ошибок, например, деления на ноль или корня из отрицательного числа.
Область значений функции
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция f ( x ) при всех допустимых значениях аргумента x из области определения D ( f ) .
Линейная функция и её график
Линейная функция — это функция вида: f ( x ) = k x + b , где: k и b — числа (коэффициенты), x — независимая переменная (аргумент).
Линейная функция
Линейная функция — это функция вида: f ( x ) = k x + b , где: k — угловой коэффициент, отвечает за наклон прямой, b — свободный член, определяет точку пересечения графика с осью y , x — независимая переменная (аргумент функции).
График функции
График функции — это множество точек на координатной плоскости, каждая из которых соответствует значению аргумента x и его соответствующему значению y = f ( x ) . Каждая точка графика имеет координаты ( x , y ) , где x — это аргумент, а y = f ( x ) — значение функции.
Квадратичная функция и её график
Квадратичная функция — это функция вида: f ( x ) = a x 2 + b x + c , где: a , b , c — числа (коэффициенты), a ≠ 0 , x — независимая переменная.
Квадратичная функция
Квадратичная функция — это функция, которая записывается в виде: f ( x ) = a x 2 + b x + c , где: a , b , c — коэффициенты (числа), a ≠ 0 (если a = 0 , функция становится линейной), x — независимая переменная (аргумент функции). Квадратичная функция имеет важные свойства и встречается в различных задачах из физики, экономики, геометрии. Её график называется параболой.
Обратные и дробно-рациональные функции
Обратная функция — это функция вида: f ( x ) = k x , где: k — постоянный коэффициент, x ≠ 0 (область определения: x ∈ R ∖ { 0 } ).
Обратная функция
Обратная функция — это функция вида: f ( x ) = k x , где: k — постоянный коэффициент, x — независимая переменная, x ≠ 0 (область определения функции исключает ноль). Графиком обратной функции является гипербола, состоящая из двух ветвей.
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции — это функции, которые являются обратными к основным тригонометрическим функциям: sin ( x ) , cos ( x ) , tan ( x ) , cot ( x ) .
Дробно-рациональные функции
Дробно-рациональная функция — это функция вида: f ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) , где: P ( x ) и Q ( x ) — многочлены, Q ( x ) ≠ 0 (знаменатель не равен нулю).
Показательная функция
Показательная функция — это функция вида: f ( x ) = a^x , где: a > 0 , a ≠ 1 — основание показательной функции, x — независимая переменная.
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция — это функция вида: f ( x ) = log a x , где: a > 0 , a ≠ 1 — основание логарифма, x > 0 — аргумент логарифма, log a x — логарифм числа x по основанию a .
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида: f ( x ) = x n , где: n — любое действительное число (показатель степени), x — независимая переменная.
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции — это функции, которые выражают зависимости между углами и сторонами прямоугольного треугольника, а также их обобщения на произвольные углы. Основные тригонометрические функции:
Нули функции
Нули функции — это значения аргумента x , при которых значение функции равно нулю: f ( x ) = 0. Другими словами, нуль функции — это точка пересечения графика функции с осью x .
Основы математического анализа
Математический анализ — это раздел математики, изучающий: свойства функций, пределы, непрерывность, производные, интегралы. Этот раздел математики является основой для понимания множества процессов в физике, экономике, биологии и других науках.
Пределы последовательностей и функций
Число a называется пределом последовательности { a n } , если члены последовательности приближаются к a при n → ∞ . Это записывается как: lim n → ∞ a n = a . Число L называется пределом функции f ( x ) в точке x = a , если значения функции приближаются к L при x → a . Это записывается как: lim x → a f ( x ) = L .
Последовательность
Последовательность — это упорядоченный набор чисел, где каждому элементу соответствует его порядковый номер. Последовательность обычно обозначается как { a n } или a 1 , a 2 , a 3 , … , где n — натуральный номер элемента.
Производная
Производная функции f ( x ) в точке x = a — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: f ′ ( a ) = lim Δ x → 0 f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x . Производная характеризует скорость изменения функции в данной точке.
Таблица квадратов чисел
Квадрат числа — это число, умноженное само на себя: a 2 = a ⋅ a . Пример: 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4 , 5 2 = 5 ⋅ 5 = 25 . Ниже представлена таблица квадратов чисел от 1 до 20.
Римские цифры
Римские цифры — это система записи чисел, использовавшаяся в Древнем Риме. Эта система основана на использовании комбинаций букв алфавита для обозначения чисел.
Квадрат Пифагора
Квадрат Пифагора — это таблица произведений чисел, которая помогает быстро находить их квадрат или произведение. Таблица носит имя Пифагора, так как связана с основными принципами арифметики и обучения. Используется в школьной программе для упрощения вычислений.
Диаметр окружности
Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Диаметр является наибольшим возможным хордой окружности.
Площадь треугольника
Площадь треугольника — это величина, которая характеризует размер внутренней части треугольника. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и т. д.).
НОК и НОД чисел
НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель) — это два важнейших понятия в теории чисел, которые связаны с делимостью. Эти величины используются для упрощения дробей, решения уравнений и анализа свойств чисел. Понимание их поможет в решении различных математических задач.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее число, которое одновременно делится на оба числа без остатка. Другими словами, это минимальное число, которое является кратным для обоих чисел.
Наибольший общий делитель
Наибольший общий делитель (НОД) двух или более чисел — это наибольшее число, которое делит каждое из данных чисел нацело.
Наибольшее и наименьшее значение функции
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции является ключевым инструментом в математике и её приложениях. Эти значения используются в оптимизации, исследовании графиков функций и решении прикладных задач. Основным методом является исследование производной и анализ значений функции в критических точках и на границах интервала.
Экстремум функции
Экстремумы функции — это ключевые точки, которые позволяют исследовать поведение функции и её графика. Они находят применение в оптимизации, анализе процессов и решении прикладных задач. Методы нахождения экстремумов через производные являются основным инструментом для исследования функций.
Исследование функции с помощью производной
Исследование функции с помощью производной — это важный метод анализа поведения функции. Оно позволяет определить интервалы возрастания и убывания, экстремумы, точки перегиба и характер изменения графика. Этот метод широко применяется в математике, физике и других областях для решения задач оптимизации и анализа процессов.
Начальные геометрические понятия
Начальные геометрические понятия, такие как точка, прямая, отрезок, плоскость, лежат в основе всей геометрии. Они не требуют доказательств, а служат основой для формулирования аксиом и изучения свойств фигур и пространственных отношений.
Точки, прямые, углы
Точки, прямые и углы — это базовые понятия геометрии, которые не требуют строгих определений и принимаются как аксиомы. Они используются для построения всех геометрических фигур и изучения их свойств.
Точка
Точка — это основа геометрии. Она используется для построения всех геометрических фигур, определения их положения и взаимного расположения. Несмотря на простоту этого понятия, точка является фундаментом, на котором строится вся геометрическая наука.
Прямая
Прямая — это одно из основополагающих понятий геометрии, используемое для изучения расположения фигур, нахождения их пересечений и других свойств. Прямые на координатной плоскости можно задавать с помощью уравнений, что делает их исследование удобным и наглядным.
Углы
Углы — это один из ключевых элементов геометрии, используемых для изучения фигур и их свойств. Знание видов углов и их взаимного расположения помогает решать множество задач, связанных с измерением и расчётом углов в геометрии и прикладных науках.
Отрезок
Отрезок — это базовая геометрическая фигура, которая используется для изучения расстояний, построения фигур и анализа их свойств. Понимание свойств отрезка, таких как длина, деление пополам, позволяет решать как теоретические, так и практические задачи.
Луч
Луч — это одна из базовых геометрических фигур, которая используется для построения углов, исследования направлений и анализа взаимного расположения точек и фигур. Понимание свойств луча помогает решать задачи на построение и определение геометрических отношений.
Основные аксиомы и теоремы геометрии
Аксиомы и теоремы геометрии являются фундаментом для изучения свойств фигур, их расположения и взаимосвязей. Знание этих основ помогает решать задачи и развивать логическое мышление.
Аксиома
Аксиома — это утверждение, которое принимается как истинное без доказательства и используется как основа для построения теорий. В геометрии аксиомы играют фундаментальную роль, служа базой для вывода теорем и изучения свойств фигур.
Теорема
Теорема — это утверждение, истинность которого доказывается с помощью аксиом, определений, и ранее доказанных теорем. Теоремы являются основным инструментом для изучения свойств геометрических объектов и построения логической структуры геометрии.
Аксиомы принадлежности
Аксиомы принадлежности — это аксиомы, которые описывают взаимоотношения между точками, прямыми и плоскостями, а также определяют, какие объекты принадлежат другим объектам в геометрии. Эти аксиомы являются основой для построения теории геометрических фигур. Аксиомы принадлежности формулируются так, чтобы гарантировать существование объектов и их правильное расположение в пространстве.
Аксиомы порядка
Аксиомы порядка — это аксиомы, которые определяют порядок расположения точек на прямой и их взаимное положение. Они являются основой для изучения порядка в геометрии и анализа отношений между точками, прямыми и плоскостями.