Основы математического анализа

Математический анализ — это раздел математики, изучающий: свойства функций, пределы, непрерывность, производные, интегралы.

Этот раздел математики является основой для понимания множества процессов в физике, экономике, биологии и других науках.

Пределы

Определение предела функции

Если при стремлении $xx$ к некоторому значению $aa$ функция $f(x)f(x)$ приближается к числу $LL$, то говорят, что предел функции равен $LL$:

Основные свойства пределов

1. Линейность:

   ${\lim }_{x\to a}[c\cdot f(x)]=c\cdot {\lim }_{x\to a}f(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; [c\; \backslash cdot\; f(x)]\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x).$

2. Сложение и вычитание:

   ${\lim }_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)\pm {\lim }_{x\to a}g(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; [f(x)\; \backslash pm\; g(x)]\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\; \backslash pm\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x).$

3. Произведение:

   ${\lim }_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)\cdot {\lim }_{x\to a}g(x)\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; [f(x)\; \backslash cdot\; g(x)]\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\; \backslash cdot\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x).$

4. Частное:

   ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)},\text{если }{\lim }_{x\to a}g(x)\mathrm{\ne }0.\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; \backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\}\{\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x)\},\; \backslash quad\; \backslash text\{если\; \}\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; g(x)\; \backslash neq\; 0.$

Непрерывность

Определение

Функция $f(x)f(x)$ называется непрерывной в точке $x=ax\; =\; a$, если выполняются три условия:

1. $f(a)f(a)$ определена.
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)$ существует.
3. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a\}\; f(x)\; =\; f(a)$.

Типы разрывов

1. Разрыв первого рода: Односторонние пределы существуют, но не равны.
2. Разрыв второго рода: Один или оба односторонних предела не существуют.

Производная

Определение

Производная функции $f(x)f(x)$ в точке $x=ax\; =\; a$ равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента:

Производная показывает скорость изменения функции.

Основные правила дифференцирования

1. Производная константы:

   $(C{)}^{\mathrm{\prime }}=0.(C)\text{'}\; =\; 0.$

2. Производная степенной функции:

   $(x^n{)}^{\mathrm{\prime }}=n\cdot x^{n-1}\mathrm{.}(x^n)\text{'}\; =\; n\; \backslash cdot\; x^\{n-1\}.$

3. Производная суммы:

   $(f(x)+g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}(f(x)\; +\; g(x))\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; +\; g\text{'}(x).$

4. Производная произведения:

   $(f(x)\cdot g(x){)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}(f(x)\; \backslash cdot\; g(x))\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; \backslash cdot\; g(x)\; +\; f(x)\; \backslash cdot\; g\text{'}(x).$

5. Производная частного:

   ${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\mathrm{\prime }}(x)}{[g(x){]}^2}\mathrm{.}\backslash left(\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x)\; \backslash cdot\; g(x)\; -\; f(x)\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)\}\{[g(x)]^2\}.$

Интегралы

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл функции $f(x)f(x)$ — это множество всех первообразных:

где $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)\; =\; f(x)$, а $CC$ — произвольная константа.

Определённый интеграл

Определённый интеграл вычисляет площадь под графиком функции на отрезке $[a,b][a,\; b]$:

где $F(x)F(x)$ — первообразная функции $f(x)f(x)$.

Основные свойства интегралов

1. Линейность:

   $\int [c\cdot f(x)+g(x)]dx=c\cdot \int f(x)dx+\int g(x)dx\mathrm{.}\backslash int\; [c\; \backslash cdot\; f(x)\; +\; g(x)]\; \backslash ,\; dx\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash int\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash int\; g(x)\; \backslash ,\; dx.$

2. Интеграл от суммы:

   $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\mathrm{.}\backslash int\; [f(x)\; +\; g(x)]\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash int\; g(x)\; \backslash ,\; dx.$

Связь между производной и интегралом

Производная и интеграл — взаимно обратные операции:

1. Если $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)\; =\; f(x)$, то:$\int f(x)dx=F(x)+C\mathrm{.}\backslash int\; f(x)\; \backslash ,\; dx\; =\; F(x)\; +\; C.$
2. Если $F(x)=\int f(x)dxF(x)\; =\; \backslash int\; f(x)\; \backslash ,\; dx$, то:$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)\mathrm{.}\backslash frac\{d\}\{dx\}\; F(x)\; =\; f(x).$

Примеры

Пример 1: Предел функции

Найдите:

Решение: Подставляем $x=2x\; =\; 2$:

Пример 2: Производная

Найдите производную функции:

Решение: Применяем правило дифференцирования:

Пример 3: Интеграл

Вычислите неопределённый интеграл:

Решение: Интегрируем по членам:

Применение математического анализа

1. Физика:

   • Исследование скорости и ускорения (производная).
   • Вычисление работы, массы и объёма (интегралы).

2. Экономика:

   • Оптимизация затрат и прибыли (производная).
   • Анализ дохода и затрат (интегралы).

3. Биология:

   • Моделирование популяций (дифференциальные уравнения).

4. Информатика:

   • Алгоритмы оптимизации.

Задачи для закрепления

1. Найдите предел:

   ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}\mathrm{.}\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 1\}\; \backslash frac\{x^2\; -\; 1\}\{x\; -\; 1\}.$

2. Найдите производную:

   $f(x)=\sin x+x^3\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sin\; x\; +\; x^3.$

3. Вычислите интеграл:

   $\int (x^2+3x-4)dx\mathrm{.}\backslash int\; (x^2\; +\; 3x\; -\; 4)\; \backslash ,\; dx.$