Логарифмическая функция

Логарифмическая функция — это функция вида: $f(x)={\log }_{a}x,f(x)\; =\; \backslash log\_a\; x,$ где: $a>0a\; >\; 0$, $a\mathrm{\ne }1a\; \backslash neq\; 1$ — основание логарифма, $x>0x\; >\; 0$ — аргумент логарифма, ${\log }_{a}x\backslash log\_a\; x$ — логарифм числа $xx$ по основанию $aa$.

Логарифмическая функция является обратной к показательной функции:

Пример:

Основные свойства логарифмической функции

1. Область определения:

   $D(f)=(0,\mathrm{\infty })\mathrm{.}D(f)\; =\; (0,\; \backslash infty).$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$

3. График: График логарифмической функции проходит только через значения $x>0x\; >\; 0$ и всегда пересекает ось $xx$ в точке $x=1x\; =\; 1$:

   $f(1)={\log }_{a}1=0.f(1)\; =\; \backslash log\_a\; 1\; =\; 0.$

4. Монтоность:

   • Если $a>1a\; >\; 1$, функция возрастает.
   • Если , функция убывает.

5. Чётность и нечётность: Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

6. Связь с показательной функцией: Логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными:

   ${\log }_a(a^x)=x,a^{{\log }_{a}x}=x\mathrm{.}\backslash log\_a(a^x)\; =\; x,\; \backslash quad\; a^\{\backslash log\_a\; x\}\; =\; x.$

График логарифмической функции

Пример: Построение графика

Рассмотрим функцию:

1. Таблица значений:

2. График: Построим точки $(0.5,-1)(0.5,\; -1)$, $(1,0)(1,\; 0)$, $(2,1)(2,\; 1)$, $(4,2)(4,\; 2)$, $(8,3)(8,\; 3)$ и проведём плавную кривую.

Свойства функции при различных значениях a

1. Если $a>1a\; >\; 1$:

   • Функция возрастает.
   • Пример: $f(x)={\log }_{3}xf(x)\; =\; \backslash log\_3\; x$.

2. Если :

   • Функция убывает.
   • Пример: $f(x)={\log }_{0.5}xf(x)\; =\; \backslash log\_\{0.5\}\; x$.

Основные логарифмические свойства

1. Логарифм произведения:

   ${\log }_a(x\cdot y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y\mathrm{.}\backslash log\_a(x\; \backslash cdot\; y)\; =\; \backslash log\_a\; x\; +\; \backslash log\_a\; y.$

2. Логарифм частного:

   ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y\mathrm{.}\backslash log\_a\backslash left(\backslash frac\{x\}\{y\}\backslash right)\; =\; \backslash log\_a\; x\; -\; \backslash log\_a\; y.$

3. Логарифм степени:

   ${\log }_a(x^n)=n\cdot {\log }_{a}x\mathrm{.}\backslash log\_a(x^n)\; =\; n\; \backslash cdot\; \backslash log\_a\; x.$

4. Смена основания логарифма:

   ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a},\text{где }b>0\text{, }b\mathrm{\ne }1\mathrm{.}\backslash log\_a\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash log\_b\; x\}\{\backslash log\_b\; a\},\; \backslash quad\; \backslash text\{где\; \$b\; >\; 0\$,\; \$b\; \backslash neq\; 1\$\}.$

Примеры задач

Пример 1: Вычисление значения функции

Найдите значение:

Решение:

1. Для $x=9x\; =\; 9$:$f(9)={\log }_{3}9=2,\text{так как }{3}^2=9\mathrm{.}f(9)\; =\; \backslash log\_3\; 9\; =\; 2,\; \backslash quad\; \backslash text\{так\; как\; \$3^2\; =\; 9\$\}.$
2. Для $x=\frac{1}{3}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$:$f\left(\frac{1}{3}\right)={\log }_3\left(\frac{1}{3}\right)=-1,\text{так как }{3}^{-1}=\frac{1}{3}\mathrm{.}f\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; =\; \backslash log\_3\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)\; =\; -1,\; \backslash quad\; \backslash text\{так\; как\; \$3^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\$\}.$

Ответ:

Пример 2: Решение уравнения

Решите уравнение:

Решение:

1. Перепишем уравнение в показательной форме:$x=2^3\mathrm{.}x\; =\; 2^3.$
2. Вычислим:$x=8.x\; =\; 8.$

Ответ:

Пример 3: Сравнение значений логарифмов

Сравните значения ${\log }_{3}9\backslash log\_3\; 9$ и ${\log }_{2}16\backslash log\_2\; 16$.

Решение:

1. ${\log }_{3}9=2\backslash log\_3\; 9\; =\; 2$, так как $3^2=93^2\; =\; 9$.
2. ${\log }_{2}16=4\backslash log\_2\; 16\; =\; 4$, так как $2^4=162^4\; =\; 16$.

Ответ:

Применение логарифмической функции

1. Математика:

   • Решение уравнений и неравенств, связанных с показателями.

2. Физика:

   • Исследование процессов радиоактивного распада:

3. Экономика:
   • Расчёт сложных процентов:

где $SS$ — конечная сумма, $PP$ — начальная сумма, $rr$ — процентная ставка.

4. Информатика:
   • Логарифмическая сложность алгоритмов.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)={\log }_{5}x\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash log\_5\; x.$

2. Найдите значение функции:

   $f(x)={\log }_{4}x,x=16,x=\mathrm{0.25.}f(x)\; =\; \backslash log\_4\; x,\; \backslash quad\; x\; =\; 16,\; \backslash ,\; x\; =\; 0.25.$

3. Решите уравнение:

   ${\log }_3(x-1)=2.\backslash log\_3(x\; -\; 1)\; =\; 2.$

4. Преобразуйте логарифм:

   ${\log }_{2}32\cdot {\log }_{4}16.\backslash log\_2\; 32\; \backslash cdot\; \backslash log\_4\; 16.$