Конспект по теме: Показательная функция

Определение

Показательная функция — это функция вида: $f(x)=a^x,f(x)\; =\; a^x,$ где: $a>0a\; >\; 0$, $a\mathrm{\ne }1a\; \backslash neq\; 1$ — основание показательной функции, $xx$ — независимая переменная.

Пример:

Основные свойства показательной функции

1. Область определения: Показательная функция определена для всех значений $xx$:

   $D(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$

2. Область значений: Значение функции всегда положительно:

   $E(f)=(0,\mathrm{\infty })\mathrm{.}E(f)\; =\; (0,\; \backslash infty).$

3. График: График функции всегда лежит выше оси $xx$ и не пересекает её.

4. Монтоность:

   • Если $a>1a\; >\; 1$, функция возрастает: при .
   • Если , функция убывает: $f(x_1)>f(x_2)f(x\_1)\; >\; f(x\_2)$ при .

5. Точка пересечения с осью $yy$: При $x=0x\; =\; 0$, $f(x)=a^0=1f(x)\; =\; a^0\; =\; 1$. Точка: $(0,1)(0,\; 1)$.

6. Асимптота: Горизонтальная асимптота: $y=0y\; =\; 0$ (при $x\to -\mathrm{\infty }x\; \backslash to\; -\backslash infty$).

7. Чётность и нечётность: Показательная функция не является ни чётной, ни нечётной.

График показательной функции

Пример: Построение графика

Рассмотрим функцию:

1. Таблица значений:

2. График: Построим точки: $(-2,0.25)(-2,\; 0.25)$, $(-1,0.5)(-1,\; 0.5)$, $(0,1)(0,\; 1)$, $(1,2)(1,\; 2)$, $(2,4)(2,\; 4)$ и проведём плавную линию.

Свойства функции при различных значениях $aa$

1. Если $a>1a\; >\; 1$:

   • Функция возрастает.
   • Например, $f(x)=3^{x}f(x)\; =\; 3^x$.

2. Если :

   • Функция убывает.
   • Например, $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}f(x)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^x$.

Логарифмическая связь

Показательная функция связана с логарифмом:

Примеры решения задач

Пример 1: Найти значение функции

Дана функция:

Найдите $f(-2)f(-2)$, $f(0)f(0)$, $f(3)f(3)$.

Решение:

1. $f(-2)=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}f(-2)\; =\; 3^\{-2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{9\}$.
2. $f(0)=3^0=1f(0)\; =\; 3^0\; =\; 1$.
3. $f(3)=3^3=27f(3)\; =\; 3^3\; =\; 27$.

Ответ:

Пример 2: Сравнение значений функции

Сравните $2^{x}2^x$ и $3^{x}3^x$ для $x>0x\; >\; 0$.

Решение:

• При $x>0x\; >\; 0$, основание $3>23\; >\; 2$, поэтому $3^x>2^{x}3^x\; >\; 2^x$.
• График функции $3^{x}3^x$ расположен выше графика функции $2^{x}2^x$.

Пример 3: Решение уравнения

Решите уравнение:

Решение:

1. Представим $1616$ как степень числа $22$:$16=2^4\mathrm{.}16\; =\; 2^4.$
2. Сравняем показатели:$2^x=2^4\Rightarrow x=4.2^x\; =\; 2^4\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; =\; 4.$

Ответ:

Применение показательной функции

1. Физика:

   • Закон радиоактивного распада: $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}N(t)\; =\; N\_0\; e^\{-\backslash lambda\; t\}$.
   • Рост численности популяции: $P(t)=P_0{e}^{kt}P(t)\; =\; P\_0\; e^\{kt\}$.

2. Экономика:

   • Формула сложных процентов:

3. Химия:
   • Скорость реакции: $v=k{e}^{-E_a\mathrm{/}RT}v\; =\; k\; e^\{-E\_a/RT\}$.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=5^x\mathrm{.}f(x)\; =\; 5^x.$

2. Найдите значение функции:

   $f(x)=4^x,x=-2,x=0,x=3.f(x)\; =\; 4^x,\; \backslash quad\; x\; =\; -2,\; \backslash ,\; x\; =\; 0,\; \backslash ,\; x\; =\; 3.$

3. Сравните функции $f(x)=2^{x}f(x)\; =\; 2^x$ и $g(x)=0.5^{x}g(x)\; =\; 0.5^x$:

   • Найдите точки пересечения графиков.
   • Определите, какая функция убывает, а какая возрастает.

4. Решите уравнение:

   $3^x=27.3^x\; =\; 27.$