Обратные и дробно-рациональные функции

Обратная функция

Обратная функция — это функция вида: $f(x)=\frac{k}{x},f(x)\; =\; \backslash frac\{k\}\{x\},$ где: $kk$ — постоянный коэффициент, $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$ (область определения: $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$).

Основные свойства обратной функции

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

3. График функции: Графиком обратной функции является гипербола, состоящая из двух ветвей:

   • При $k>0k\; >\; 0$ обе ветви находятся в первой и третьей четвертях.
   • При обе ветви находятся во второй и четвёртой четвертях.

4. Свойства:

   • Функция нечётная: $f(-x)=-f(x)f(-x)\; =\; -f(x)$.
   • Функция не является ограниченной.
   • Функция убывающая на интервалах $(-\mathrm{\infty },0)(-\backslash infty,\; 0)$ и $(0,\mathrm{\infty })(0,\; \backslash infty)$.

Пример обратной функции

Рассмотрим функцию:

1. Область определения:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

2. Область значений:

   $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$

3. График:

   • При $x>0x\; >\; 0$, $f(x)>0f(x)\; >\; 0$ (ветвь гиперболы в первой четверти).
   • При , (ветвь гиперболы в третьей четверти).

Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональная функция — это функция вида:

где:

• $P(x)P(x)$ и $Q(x)Q(x)$ — многочлены,
• $Q(x)\mathrm{\ne }0Q(x)\; \backslash neq\; 0$.

Пример:

Основные свойства дробно-рациональных функций

1. Область определения: Область определения функции исключает значения $xx$, при которых знаменатель обращается в ноль:

   $Q(x)\mathrm{\ne }0.Q(x)\; \backslash neq\; 0.$

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: возникает в точках, где $Q(x)=0Q(x)\; =\; 0$.
   • Горизонтальная асимптота: определяется степенью числителя и знаменателя.

• Если степень числителя меньше степени знаменателя, асимптота $y=0y\; =\; 0$.
• Если степени равны, асимптота $y=\frac{\text{коэффициент при старшей степени числителя}}{\text{коэффициент при старшей степени знаменателя}}y\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{коэффициент\; при\; старшей\; степени\; числителя\}\}\{\backslash text\{коэффициент\; при\; старшей\; степени\; знаменателя\}\}$.

3. График: График дробно-рациональной функции может содержать несколько гиперболических ветвей и асимптоты.

Пример дробно-рациональной функции

Рассмотрим функцию:

1. Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $x+2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-2.x\; +\; 2\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; -2.$

   Ответ:

   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{-2\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{-2\backslash \}.$

2. Вертикальная асимптота:

   $x=-2.x\; =\; -2.$

3. Горизонтальная асимптота: Степени числителя и знаменателя равны. Коэффициенты при старших степенях: $11$ и $11$. Горизонтальная асимптота:

   $y=\frac{1}{1}=1.y\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\}\; =\; 1.$

4. График:

   • При $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$, $f(x)\to 1f(x)\; \backslash to\; 1$.
   • При $x\to -\mathrm{\infty }x\; \backslash to\; -\backslash infty$, $f(x)\to 1f(x)\; \backslash to\; 1$.

Сравнение обратной и дробно-рациональной функций

Связь с жизнью

1. Физика:

   • Обратная функция используется для описания процессов, где величина обратно пропорциональна другой (например, сила тяжести и расстояние).

2. Экономика:

   • Дробно-рациональные функции описывают процессы, где прибыль или затраты зависят от нескольких факторов.

3. Биология:

   • Обратная зависимость наблюдается в популяционных моделях (например, количество особей и ресурсы).

Задачи для закрепления

1. Найдите область определения функции:

   $f(x)=\frac{2}{x-3}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{2\}\{x\; -\; 3\}.$

2. Постройте график функции:

   $f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{x^2\; -\; 4\}\{x\; -\; 1\}.$

3. Определите вертикальные и горизонтальные асимптоты:

   $f(x)=\frac{3x+5}{2x-1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{3x\; +\; 5\}\{2x\; -\; 1\}.$

4. Найдите область определения и постройте график:

   $f(x)=\frac{1}{x^2-4}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x^2\; -\; 4\}.$