Квадратичная функция и её график

Квадратичная функция — это функция вида: $f(x)=a{x}^2+bx+c,f(x)\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c,$ где: $a,b,ca,\; b,\; c$ — числа (коэффициенты), $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$, $xx$ — независимая переменная.

Пример:

График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции является парабола.

• Если $a>0a\; >\; 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если , ветви параболы направлены вниз.

Важные элементы параболы

1. Вершина параболы: Вершина параболы находится в точке:

   $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}\mathrm{.}x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}.$

   Значение функции в вершине:

   $y_{\text{вершина}}=f(-\frac{b}{2a})\mathrm{.}y\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; f\backslash left(-\backslash frac\{b\}\{2a\}\backslash right).$

2. Ось симметрии: Прямая, проходящая через вершину параболы, имеет уравнение:

   $x=-\frac{b}{2a}\mathrm{.}x\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}.$

3. Нули функции (корни): Нули функции находятся решением квадратного уравнения:

   $a{x}^2+bx+c=0.ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0.$

   Используется формула:

   $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\mathrm{.}x\_\{1,\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{b^2\; -\; 4ac\}\}\{2a\}.$
   • Если дискриминант $D=b^2-4ac>0D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; >\; 0$, функция имеет два корня.
   • Если $D=0D\; =\; 0$, функция имеет один корень.
   • Если , корней нет.

4. Точка пересечения с осью $yy$: Функция пересекает ось $yy$ в точке $(0,c)(0,\; c)$, где $cc$ — свободный член.

Алгоритм построения графика

1. Определите направление ветвей параболы:

   • Если $a>0a\; >\; 0$, ветви направлены вверх.
   • Если , ветви направлены вниз.

2. Найдите вершину параболы:

   • Координаты вершины: $(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))\backslash left(-\backslash frac\{b\}\{2a\},\; f\backslash left(-\backslash frac\{b\}\{2a\}\backslash right)\backslash right)$.

3. Найдите точки пересечения с осями:

   • Точка пересечения с осью $yy$: $(0,c)(0,\; c)$.
   • Нули функции (если они есть).

4. Постройте таблицу значений:

   • Выберите несколько значений $xx$ слева и справа от вершины.
   • Найдите соответствующие значения $yy$.

5. Нарисуйте график:

   • Постройте точки и проведите плавную кривую.

Примеры

Пример 1: Построение графика

Построим график функции:

1. Определяем направление ветвей:

   • $a=1>0a\; =\; 1\; >\; 0$, значит, ветви направлены вверх.

2. Находим вершину параболы:

   $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2.x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}\; =\; -\backslash frac\{-4\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 2.$

   Значение функции в вершине:

   $y_{\text{вершина}}=f(2)=2^2-4\cdot 2+3=-1.y\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; f(2)\; =\; 2^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 2\; +\; 3\; =\; -1.$

   Координаты вершины: $(2,-1)(2,\; -1)$.

3. Находим нули функции:

• Решаем уравнение $x^2-4x+3=0x^2\; -\; 4x\; +\; 3\; =\; 0$:$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; =\; (-4)^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; 3\; =\; 16\; -\; 12\; =\; 4.$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}\mathrm{.}x\_\{1,\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}\; =\; \backslash frac\{-(-4)\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{4\}\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}.$$x_1=1,x_2=3.x\_1\; =\; 1,\; \backslash quad\; x\_2\; =\; 3.$Точки пересечения с осью $xx$: $(1,0)(1,\; 0)$ и $(3,0)(3,\; 0)$.

4. Точка пересечения с осью $yy$:

   $f(0)=0^2-4\cdot 0+3=3.f(0)\; =\; 0^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; 0\; +\; 3\; =\; 3.$

   Точка: $(0,3)(0,\; 3)$.

5. Строим таблицу значений:

6. Строим график на координатной плоскости.

Пример 2: Квадратичная функция с отрицательным $aa$

Построим график функции:

1. Определяем направление ветвей:

   • , значит, ветви направлены вниз.

2. Находим вершину параболы:

   $x_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=1.x\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; -\backslash frac\{b\}\{2a\}\; =\; -\backslash frac\{4\}\{2\; \backslash cdot\; (-2)\}\; =\; 1.$

   Значение функции в вершине:

   $y_{\text{вершина}}=f(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-1=1.y\_\{\backslash text\{вершина\}\}\; =\; f(1)\; =\; -2\; \backslash cdot\; 1^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; 1\; -\; 1\; =\; 1.$

   Координаты вершины: $(1,1)(1,\; 1)$.

3. Находим нули функции:

• Решаем уравнение $-2x^2+4x-1=0-2x^2\; +\; 4x\; -\; 1\; =\; 0$:$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-2)\cdot (-1)=16-8=8.D\; =\; b^2\; -\; 4ac\; =\; 4^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; (-2)\; \backslash cdot\; (-1)\; =\; 16\; -\; 8\; =\; 8.$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{-4}\mathrm{.}x\_\{1,\; 2\}\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{D\}\}\{2a\}\; =\; \backslash frac\{-4\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{8\}\}\{-4\}.$Упрощаем:$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}x\_1\; =\; \backslash frac\{2\; -\; \backslash sqrt\{2\}\}\{2\},\; \backslash quad\; x\_2\; =\; \backslash frac\{2\; +\; \backslash sqrt\{2\}\}\{2\}.$

4. Точка пересечения с осью $yy$:

   $f(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-1=-1.f(0)\; =\; -2\; \backslash cdot\; 0^2\; +\; 4\; \backslash cdot\; 0\; -\; 1\; =\; -1.$

   Точка: $(0,-1)(0,\; -1)$.

5. Строим таблицу значений и график.

Связь с жизнью

1. Физика:

   • Движение тела по параболе (траектория при броске).

2. Экономика:

   • Оптимизация затрат или прибыли, где график представляет собой параболу.

3. Геометрия:

   • Свойства квадратичных кривых, связанных с фокусами и вершинами.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=x^2-6x+8.f(x)\; =\; x^2\; -\; 6x\; +\; 8.$

2. Найдите вершину параболы и постройте график:

   $f(x)=2x^2+4x-3.f(x)\; =\; 2x^2\; +\; 4x\; -\; 3.$

3. Определите направление ветвей и нули функции:

   $f(x)=-x^2+2x+5.f(x)\; =\; -x^2\; +\; 2x\; +\; 5.$