Линейная функция и её график

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида: $f(x)=kx+b,f(x)\; =\; kx\; +\; b,$ где: $kk$ и $bb$ — числа (коэффициенты), $xx$ — независимая переменная (аргумент).

Особенности линейной функции:

1. Графиком линейной функции является прямая линия.
2. Коэффициент $kk$ называется угловым коэффициентом:
   • Если $k>0k\; >\; 0$, прямая возрастает.
   • Если , прямая убывает.
3. Коэффициент $bb$ называется свободным членом:
   • Он показывает, где прямая пересекает ось $yy$.

Формула и примеры

1. Общий вид:

   $f(x)=kx+b\mathrm{.}f(x)\; =\; kx\; +\; b.$

2. Пример 1:

   $f(x)=2x+1.f(x)\; =\; 2x\; +\; 1.$

   Здесь $k=2k\; =\; 2$, $b=1b\; =\; 1$.

3. Пример 2:

   $f(x)=-3x+5.f(x)\; =\; -3x\; +\; 5.$

   Здесь $k=-3k\; =\; -3$, $b=5b\; =\; 5$.

4. Пример 3 (особый случай): Если $b=0b\; =\; 0$, то уравнение принимает вид:

   $f(x)=kx\mathrm{.}f(x)\; =\; kx.$

   Пример:

   $f(x)=4x\mathrm{.}f(x)\; =\; 4x.$

Построение графика линейной функции

Шаги построения графика

1. Найдите две точки, принадлежащие прямой:

   • Подставьте любое значение $xx$ в уравнение, чтобы найти $yy$.
   • Повторите для другого значения $xx$.

2. Нанесите найденные точки на координатную плоскость.

3. Проведите прямую, проходящую через эти точки.

Пример построения графика

Построим график функции:

1. Найдём две точки:

   • Для $x=0x\; =\; 0$: $f(0)=2\cdot 0-3=-3f(0)\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 3\; =\; -3$ $\Rightarrow (0,-3)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; -3)$.
   • Для $x=2x\; =\; 2$: $f(2)=2\cdot 2-3=1f(2)\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; -\; 3\; =\; 1$ $\Rightarrow (2,1)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (2,\; 1)$.

2. Наносим точки $(0,-3)(0,\; -3)$ и $(2,1)(2,\; 1)$ на координатную плоскость.

3. Проводим прямую через эти точки.

Влияние коэффициентов $kk$ и $bb$

1. Коэффициент $kk$ (угловой коэффициент):
   • Определяет наклон прямой:

• Если $k>0k\; >\; 0$, прямая возрастает (идёт вверх слева направо).
• Если , прямая убывает (идёт вниз слева направо).
• Если $k=0k\; =\; 0$, график — горизонтальная прямая.

2. Коэффициент $bb$ (свободный член):
   • Определяет точку пересечения прямой с осью $yy$ (когда $x=0x\; =\; 0$).

Примеры

Пример 1: Построение графика

Построим график функции:

1. Найдём две точки:

   • Для $x=0x\; =\; 0$: $f(0)=-0+4=4f(0)\; =\; -0\; +\; 4\; =\; 4$ $\Rightarrow (0,4)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (0,\; 4)$.
   • Для $x=2x\; =\; 2$: $f(2)=-(2)+4=2f(2)\; =\; -(2)\; +\; 4\; =\; 2$ $\Rightarrow (2,2)\backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (2,\; 2)$.

2. Наносим точки $(0,4)(0,\; 4)$ и $(2,2)(2,\; 2)$ на координатную плоскость.

3. Проводим прямую через эти точки.

Пример 2: Горизонтальная прямая

Построим график функции:

1. Для всех значений $xx$, $f(x)f(x)$ всегда равно $33$. Это означает, что прямая параллельна оси $xx$ и проходит через точку $(0,3)(0,\; 3)$.

Связь с жизнью

1. Физика:

   • Уравнение равномерного движения: $s=vts\; =\; vt$, где $vv$ — скорость.
   • Это линейная функция, график которой — прямая.

2. Экономика:

   • Функция дохода: $R=pxR\; =\; px$, где $pp$ — цена за единицу, $xx$ — количество товаров.

3. Информатика:

   • Алгоритмы с линейной сложностью ($O(n)O(n)$) имеют график роста линейной функции.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции:

   $f(x)=3x-2.f(x)\; =\; 3x\; -\; 2.$

2. Найдите точку пересечения с осью $yy$:

   $f(x)=-2x+5.f(x)\; =\; -2x\; +\; 5.$

3. Определите, возрастает или убывает функция:

   $f(x)=-4x+1.f(x)\; =\; -4x\; +\; 1.$

4. Постройте график функции:

   $f(x)=x\mathrm{.}f(x)\; =\; x.$