Область значений функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)f(x)$ при всех допустимых значениях аргумента $xx$ из области определения $D(f)D(f)$.

Обозначается как $E(f)E(f)$ или $YY$.

Пример: Для функции $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ область значений — это все числа $y\ge 0y\; \backslash geq\; 0$, так как квадрат любого числа неотрицателен:

Как найти область значений функции?

Чтобы определить область значений функции, выполните следующие шаги:

1. Найдите область определения функции $D(f)D(f)$.
2. Выразите $y=f(x)y\; =\; f(x)$ и решите уравнение относительно $xx$.
3. Убедитесь, что найденные значения $yy$ возможны для области определения $D(f)D(f)$.
4. Проверьте, какие значения $yy$ реально может принимать функция.

Примеры функций и их областей значений

Линейная функция

Пример:

• Область определения:$D(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$
• Линейная функция не имеет ограничений, и $yy$ может принимать любые значения.

Ответ:

Квадратичная функция

Пример:

• Область определения:$D(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$
• Значение $yy$ — это квадрат числа минус 4. Квадрат числа всегда неотрицателен, следовательно, $x^2\ge 0x^2\; \backslash geq\; 0$ и $f(x)\ge -4f(x)\; \backslash geq\; -4$.

Ответ:

Функция с корнем

Пример:

• Область определения:$x\ge 0\Rightarrow D(f)=[0,\mathrm{\infty })\mathrm{.}x\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; D(f)\; =\; [0,\; \backslash infty).$
• Значение $f(x)f(x)$ — это корень числа, а корень всегда неотрицателен.

Ответ:

Дробная функция

Пример:

• Область определения:$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}.$
• Дробь $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ может принимать любые значения, кроме $00$, так как $1\mathrm{\ne }01\; \backslash neq\; 0$.

Ответ:

Тригонометрическая функция

Пример:

• Область определения:$D(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$
• Значение $\sin x\backslash sin\; x$ всегда находится в диапазоне $[-1,1][-1,\; 1]$.

Ответ:

Графический способ нахождения области значений

1. Постройте график функции.
2. Найдите проекцию графика на ось $yy$.
3. Проекция покажет все возможные значения $yy$, которые принимает функция.

Пример: Для функции $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ график — это парабола. Проекция параболы на ось $yy$:

Примеры

Пример 1: Функция с ограничениями

Найдите область значений:

1. Область определения:$x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2.x\; +\; 2\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; -2.$
2. Значение $f(x)f(x)$ — это корень из числа $x+2x\; +\; 2$, а корень всегда неотрицателен.

Ответ:

Пример 2: Дробная функция

Найдите область значений:

1. Область определения:$x-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }2.x\; -\; 2\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; 2.$
2. Дробь $\frac{1}{x-2}\backslash frac\{1\}\{x\; -\; 2\}$ может принимать любые значения, кроме $00$.

Ответ:

Пример 3: Квадратичная функция с ограничением

Найдите область значений:

1. Область определения:$D(f)=\mathbb{R}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}.$
2. Значение $f(x)f(x)$ — это квадрат числа плюс 3. Квадрат числа $x^2\ge 0x^2\; \backslash geq\; 0$, следовательно:$f(x)\ge 3.f(x)\; \backslash geq\; 3.$

Ответ:

Задачи для закрепления

1. Найдите область значений:

   $f(x)=\sqrt{x-5}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\; -\; 5\}.$

2. Укажите область значений:

   $f(x)=\frac{1}{x+1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}.$

3. Определите область значений:

   $f(x)=x^2-7.f(x)\; =\; x^2\; -\; 7.$

4. Найдите область значений:

   $f(x)=\sin x+2.f(x)\; =\; \backslash sin\; x\; +\; 2.$