Область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $xx$), при которых выражение функции имеет смысл. Обозначается как $D(f)D(f)$.

Функция определяется только в тех точках, где математическое выражение не содержит ошибок, например, деления на ноль или корня из отрицательного числа.

Способы нахождения области определения

Чтобы найти область определения функции, нужно проверить ограничения, накладываемые на выражение. Основные шаги:

1. Проверка деления на ноль: Если функция имеет дробь, знаменатель не должен равняться нулю.

   • Пример:
   $f(x)=\frac{1}{x-3}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\; -\; 3\}.$
   • Условие:
   $x-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }3.x\; -\; 3\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; 3.$
   • Ответ:
   $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{3\}\mathrm{.}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{3\backslash \}.$

2. Проверка корней чётной степени: Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

   • Пример:
   $f(x)=\sqrt{x-4}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\; -\; 4\}.$
   • Условие:
   $x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 4.x\; -\; 4\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; 4.$
   • Ответ:
   $D(f)=[4,\mathrm{\infty })\mathrm{.}D(f)\; =\; [4,\; \backslash infty).$

3. Проверка логарифмических выражений: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

   • Пример:
   $f(x)=\log (x+2)\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash log(x\; +\; 2).$
   • Условие:
   $x+2>0\Rightarrow x>-2.x\; +\; 2\; >\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; >\; -2.$
   • Ответ:
   $D(f)=(-2,\mathrm{\infty })\mathrm{.}D(f)\; =\; (-2,\; \backslash infty).$

4. Совместные ограничения: Если функция состоит из нескольких элементов, учитываются все ограничения.

   Пример:

   $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{x\; -\; 1\}\}\{x\; -\; 3\}.$

   Условия:

   • $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1x\; -\; 1\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; 1$,
   • $x-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }3x\; -\; 3\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; 3$.

   Ответ:

   $D(f)=[1,3)\cup (3,\mathrm{\infty })\mathrm{.}D(f)\; =\; [1,\; 3)\; \backslash cup\; (3,\; \backslash infty).$

Примеры

Пример 1: Дробная функция

Найдём область определения:

Решение:

1. Знаменатель не должен равняться нулю:$x^2-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow (x-2)(x+2)\mathrm{\ne }0.x^2\; -\; 4\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (x\; -\; 2)(x\; +\; 2)\; \backslash neq\; 0.$
2. Условия:$x\mathrm{\ne }2,x\mathrm{\ne }-2.x\; \backslash neq\; 2,\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; -2.$

Ответ:

Пример 2: Функция с корнем

Найдём область определения:

Решение:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$3x-9\ge 0\Rightarrow 3x\ge 9\Rightarrow x\ge 3.3x\; -\; 9\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; 3x\; \backslash geq\; 9\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; 3.$

Ответ:

Пример 3: Совместные ограничения

Найдём область определения:

Решение:

1. Подкоренное выражение:$x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1.x\; -\; 1\; \backslash geq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash geq\; 1.$
2. Знаменатель не равен нулю:$x^2-9\mathrm{\ne }0\Rightarrow (x-3)(x+3)\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }3,x\mathrm{\ne }-3.x^2\; -\; 9\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; (x\; -\; 3)(x\; +\; 3)\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; 3,\; \backslash ,\; x\; \backslash neq\; -3.$
3. Совмещаем ограничения:$x\ge 1,x\mathrm{\ne }3.x\; \backslash geq\; 1,\; \backslash quad\; x\; \backslash neq\; 3.$

Ответ:

Область определения на графике

Графически область определения функции $f(x)f(x)$ — это проекция графика функции на ось $xx$.

Пример: Для функции $f(x)=\sqrt{x}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\}$ график выглядит так:

• Проекция на ось $xx$: $[0,\mathrm{\infty })[0,\; \backslash infty)$.
• Область определения: $D(f)=[0,\mathrm{\infty })D(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$.

Задачи для закрепления

1. Найдите область определения:

   $f(x)=\frac{2}{x-5}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{2\}\{x\; -\; 5\}.$

2. Укажите область определения:

   $f(x)=\sqrt{x+7}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\; +\; 7\}.$

3. Определите область определения:

   $f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{x+2}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{x\; -\; 4\}\}\{x\; +\; 2\}.$

4. Найдите область определения:

   $f(x)=\log (2x-1)\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash log(2x\; -\; 1).$