Понятие функции. Область определения и область значений

Понятие функции

Функция — это зависимость, при которой каждому значению одной переменной (аргумента) соответствует ровно одно значение другой переменной (функции).

Функция записывается в виде:$y=f(x),y\; =\; f(x),$ где: $xx$ — аргумент функции (независимая переменная), $yy$ — значение функции (зависимая переменная), $ff$ — правило, задающее зависимость между $xx$ и $yy$.

Пример:

Здесь $f(x)f(x)$ обозначает “функция от $xx$”.

Примеры функций

1. Линейная функция: $f(x)=2x+1.f(x)\; =\; 2x\; +\; 1.$

   • Каждому $xx$ соответствует одно значение $yy$.

2. Квадратичная функция: $f(x)=x^2-4x+3.f(x)\; =\; x^2\; -\; 4x\; +\; 3.$

   • Здесь значение функции зависит от квадрата аргумента.

3. Функция с корнем: $f(x)=\sqrt{x-1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\; -\; 1\}.$

4. Дробная функция: $f(x)=\frac{1}{x+2}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\; +\; 2\}.$

Способы задания функции

1. Формула: Правило связи задаётся выражением. Пример:

   $f(x)=x^2-3.f(x)\; =\; x^2\; -\; 3.$

2. Таблица: Указываются значения $xx$ и соответствующие им значения $f(x)f(x)$.

• Пример:

3. График: График функции строится на координатной плоскости. Каждой точке $xx$ соответствует одна точка $yy$.

4. Словесное описание: Пример: “Каждому числу соответствует его квадрат”.

Область определения функции (D)

Область определения функции — это множество значений, которые может принимать аргумент $xx$.

Как находить область определения?

1. Убедитесь, что выражение имеет смысл:

   • Дробь: знаменатель не равен нулю.
   • Корень: подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

2. Запишите ограничения.

Пример 1:

Область определения:

Ответ:

Пример 2:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ:

Область значений функции (E)

Область значений функции — это множество значений, которые может принимать функция $f(x)f(x)$.

Как находить область значений?

1. Определите вид функции (линейная, квадратичная, дробная и т. д.).
2. Выясните, какие значения может принимать выражение для $f(x)f(x)$ с учётом области определения.

Пример 1:

Здесь $f(x)f(x)$ — квадрат числа, поэтому:

Ответ:

Пример 2:

Так как $x\mathrm{\ne }0x\; \backslash neq\; 0$, дробь может принимать любые значения, кроме $00$. Ответ:

Связь области определения и значений

1. Область определения (D) задаёт, какие значения может принимать $xx$.
2. Область значений (E) показывает, какие значения может принимать $f(x)f(x)$.

Пример:

• $D(f)=[0,\mathrm{\infty })D(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным).
• $E(f)=[0,\mathrm{\infty })E(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$ (значение корня всегда неотрицательно).

График функции

График функции помогает определить область определения и область значений:

• Область определения — проекция графика на ось $xx$.
• Область значений — проекция графика на ось $yy$.

Пример: Для $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ график — парабола:

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.
• Область значений: $E(f)=[0,\mathrm{\infty })E(f)\; =\; [0,\; \backslash infty)$.

Задачи для закрепления

1. Найдите область определения:

   $f(x)=\frac{x+2}{x-3}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{x\; +\; 2\}\{x\; -\; 3\}.$

2. Определите область значений функции:

   $f(x)=x^2-4.f(x)\; =\; x^2\; -\; 4.$

3. Постройте график функции:

   $f(x)=\sqrt{x-1}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x\; -\; 1\}.$

4. Укажите область определения и значений:

   $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{.}f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{x\}\}.$