Функции

Функция — это одно из ключевых понятий математики, описывающее зависимость между двумя величинами: аргументом (независимой переменной) и значением функции (зависимой переменной). Функции широко применяются в математике, физике, экономике и других науках для описания закономерностей.

Что такое функция?

Определение

Функция — это правило, которое каждой допустимой величине $xx$ (аргументу) ставит в соответствие единственное значение $yy$ (значение функции). Обозначается как:

Примеры:

1. Линейная функция: $f(x)=2x+3f(x)\; =\; 2x\; +\; 3$
2. Квадратичная функция: $f(x)=x^2-4x+1f(x)\; =\; x^2\; -\; 4x\; +\; 1$
3. Показательная функция: $f(x)=2^{x}f(x)\; =\; 2^x$

Основные элементы функции

Область определения функции (D)

Область определения — это множество всех значений $xx$, для которых функция определена. Обозначение:

Область значений функции (E)

Область значений — это множество всех возможных значений функции $yy$. Обозначение:

Способы задания функций

1. Аналитический способ: Функция задаётся формулой, например, $f(x)=x^2+2x+1f(x)\; =\; x^2\; +\; 2x\; +\; 1$.
2. Табличный способ: Указываются значения аргумента и соответствующие значения функции.

   $xx$	$11$	$22$	$33$
   $f(x)f(x)$	$44$	$77$	$1010$

3. Графический способ: Функция задаётся графиком на координатной плоскости.
4. Словесный способ: Функция описывается словами, например, “каждому числу ставится в соответствие его квадрат”.

Основные виды функций

Линейная функция

Формула:

• График: прямая линия.

Свойства:

• Определена на всей числовой оси.
• Чётность: не является чётной или нечётной.

Пример:

$f(x)=2x+1f(x)\; =\; 2x\; +\; 1$

Квадратичная функция

Формула:

• График: парабола.

Свойства:

• Определена на всей числовой оси.
• Симметрична относительно оси вершины параболы.

Пример:

$f(x)=x^2-4x+3f(x)\; =\; x^2\; -\; 4x\; +\; 3$

Показательная функция

Формула:

• График: экспоненциальная кривая.

Свойства:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
• Область значений: $y>0y\; >\; 0$.

Пример:

$f(x)=2^{x}f(x)\; =\; 2^x$

Логарифмическая функция

Формула:

• График: логарифмическая кривая.

Свойства:

• Область определения: $x>0x\; >\; 0$.
• Область значений: $y\in \mathbb{R}y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Пример:

$f(x)={\log }_2(x)f(x)\; =\; \backslash log\_2(x)$

Тригонометрические функции

1. Синус:

   $f(x)=\sin (x)f(x)\; =\; \backslash sin(x)$
   • Область определения: $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Область значений: $-1\le y\le 1-1\; \backslash leq\; y\; \backslash leq\; 1$.

2. Косинус:

   $f(x)=\cos (x)f(x)\; =\; \backslash cos(x)$
   • Аналогично синусу.

3. Тангенс:

   $f(x)=\tan (x)f(x)\; =\; \backslash tan(x)$
   • Область определения: $x\mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}x\; \backslash neq\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; \backslash pi\; k,\; \backslash ,\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$.

Свойства функций

Монотонность

• Возрастающая функция: Если для .
• Убывающая функция: Если $f(x_1)>f(x_2)f(x\_1)\; >\; f(x\_2)$ для .

Чётность

• Чётная функция: $f(-x)=f(x)f(-x)\; =\; f(x)$. График симметричен относительно оси $yy$.
• Нечётная функция: $f(-x)=-f(x)f(-x)\; =\; -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.

Ограниченность

• Функция ограничена сверху, если существует число $MM$, такое что $f(x)\le Mf(x)\; \backslash leq\; M$.
• Функция ограничена снизу, если $f(x)\ge mf(x)\; \backslash geq\; m$.

Графики функций

График функции — это множество точек на координатной плоскости $(x,y)(x,\; y)$, где каждая точка соответствует значению $y=f(x)y\; =\; f(x)$.

Пример:

Для функции $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^2$ график — парабола.

Построение графика:

1. Найти область определения функции.
2. Вычислить несколько значений $yy$ при заданных $xx$.
3. Построить точки и соединить их плавной линией.

Примеры из практики

Пример 1:

Функция стоимости товара $CC$ в зависимости от количества $qq$:

Здесь стоимость линейно зависит от количества.

Пример 2:

Функция роста популяции:

Где $P_{0}P\_0$ — начальная популяция, $kk$ — коэффициент роста, $tt$ — время.

Заключение

Функции — это универсальный инструмент для описания зависимостей между величинами. Изучение их свойств, графиков и видов помогает решать задачи из разных областей науки и практики.