Тригонометрические функции

Тригонометрические функции — это функции, которые выражают зависимости между углами и сторонами прямоугольного треугольника, а также их обобщения на произвольные углы. Основные тригонометрические функции:

1. Синус: $\sin x=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\mathrm{.}\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{противолежащий\; катет\}\}\{\backslash text\{гипотенуза\}\}.$

2. Косинус: $\cos x=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\mathrm{.}\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{прилежащий\; катет\}\}\{\backslash text\{гипотенуза\}\}.$

3. Тангенс: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cos x\mathrm{\ne }0.\backslash tan\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{\backslash cos\; x\},\; \backslash quad\; \backslash cos\; x\; \backslash neq\; 0.$

4. Котангенс: $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\sin x\mathrm{\ne }0.\backslash cot\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash cos\; x\}\{\backslash sin\; x\},\; \backslash quad\; \backslash sin\; x\; \backslash neq\; 0.$

Эти функции определены для всех углов $xx$, измеряемых в радианах или градусах.

Основные свойства тригонометрических функций

Синус ($\sin x\backslash sin\; x$)

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.

• Область значений: $E(f)=[-1,1]E(f)\; =\; [-1,\; 1]$.

• Чётность: нечётная, $\sin (-x)=-\sin (x)\backslash sin(-x)\; =\; -\backslash sin(x)$.

• Периодичность: период $2\pi 2\backslash pi$, $\sin (x+2\pi )=\sin (x)\backslash sin(x\; +\; 2\backslash pi)\; =\; \backslash sin(x)$.

Косинус ($\cos x\backslash cos\; x$)

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.

• Область значений: $E(f)=[-1,1]E(f)\; =\; [-1,\; 1]$.

• Чётность: чётная, $\cos (-x)=\cos (x)\backslash cos(-x)\; =\; \backslash cos(x)$.

• Периодичность: период $2\pi 2\backslash pi$, $\cos (x+2\pi )=\cos (x)\backslash cos(x\; +\; 2\backslash pi)\; =\; \backslash cos(x)$.

Тангенс ($\tan x\backslash tan\; x$)

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash left\backslash \{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; \backslash pi\; k,\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash right\backslash \}$.

• Область значений: $E(f)=\mathbb{R}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.

• Чётность: нечётная, $\tan (-x)=-\tan (x)\backslash tan(-x)\; =\; -\backslash tan(x)$.

• Периодичность: период $\pi \backslash pi$, $\tan (x+\pi )=\tan (x)\backslash tan(x\; +\; \backslash pi)\; =\; \backslash tan(x)$.

Котангенс ($\cot x\backslash cot\; x$)

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{\pi k,k\in \mathbb{Z}\}D(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash setminus\; \backslash \{\backslash pi\; k,\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$.

• Область значений: $E(f)=\mathbb{R}E(f)\; =\; \backslash mathbb\{R\}$.

• Чётность: нечётная, $\cot (-x)=-\cot (x)\backslash cot(-x)\; =\; -\backslash cot(x)$.

• Периодичность: период $\pi \backslash pi$, $\cot (x+\pi )=\cot (x)\backslash cot(x\; +\; \backslash pi)\; =\; \backslash cot(x)$.

Основные графики

1. Синус ($y=\sin xy\; =\; \backslash sin\; x$):

   • 
     Волнообразный график.

   • Пересекает ось $xx$ в точках $x=\pi kx\; =\; \backslash pi\; k$, $k\in \mathbb{Z}k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$.

   • Максимумы: $y=1y\; =\; 1$ при $x=\frac{\pi }{2}+2\pi kx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; 2\backslash pi\; k$.

   • Минимумы: $y=-1y\; =\; -1$ при $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi kx\; =\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; 2\backslash pi\; k$.

2. Косинус ($y=\cos xy\; =\; \backslash cos\; x$):

   • 
     Волнообразный график.

   • Пересекает ось $xx$ в точках $x=\frac{\pi }{2}+\pi kx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; \backslash pi\; k$, $k\in \mathbb{Z}k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$.

   • Максимумы: $y=1y\; =\; 1$ при $x=2\pi kx\; =\; 2\backslash pi\; k$.

   • Минимумы: $y=-1y\; =\; -1$ при $x=\pi +2\pi kx\; =\; \backslash pi\; +\; 2\backslash pi\; k$.

3. Тангенс ($y=\tan xy\; =\; \backslash tan\; x$):

   • 
     График состоит из отдельных ветвей.

   • Вертикальные асимптоты: $x=\frac{\pi }{2}+\pi kx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; \backslash pi\; k$, $k\in \mathbb{Z}k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$.

4. Котангенс ($y=\cot xy\; =\; \backslash cot\; x$):

   • 
     График состоит из отдельных ветвей.

   • Вертикальные асимптоты: $x=\pi kx\; =\; \backslash pi\; k$, $k\in \mathbb{Z}k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$.

Основные тождества

1. Основное тригонометрическое тождество:

   ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.\backslash sin^2\; x\; +\; \backslash cos^2\; x\; =\; 1.$

2. Выражение через тангенс и котангенс:

   $1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x},1+{\cot }^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}\mathrm{.}1\; +\; \backslash tan^2\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2\; x\},\; \backslash quad\; 1\; +\; \backslash cot^2\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin^2\; x\}.$

3. Формулы сложения:

   $\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,\backslash sin(x\; \backslash pm\; y)\; =\; \backslash sin\; x\; \backslash cos\; y\; \backslash pm\; \backslash cos\; x\; \backslash sin\; y,$$\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y\mathrm{.}\backslash cos(x\; \backslash pm\; y)\; =\; \backslash cos\; x\; \backslash cos\; y\; \backslash mp\; \backslash sin\; x\; \backslash sin\; y.$

Примеры задач

Пример 1: Найдите значение $\sin x\backslash sin\; x$ и $\cos x\backslash cos\; x$ при $x=\frac{\pi }{4}x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$.

Решение:

1. $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\backslash sin\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; \backslash cos\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$.

Пример 2: Решите уравнение $\sin x=0.5\backslash sin\; x\; =\; 0.5$.

Решение:

1. $\sin x=0.5\backslash sin\; x\; =\; 0.5$ при $x=\frac{\pi }{6}+2\pi kx\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\; +\; 2\backslash pi\; k$ или $x=\pi -\frac{\pi }{6}+2\pi kx\; =\; \backslash pi\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\; +\; 2\backslash pi\; k$.

Ответ:

Пример 3: Найдите значение тангенса $\tan \frac{\pi }{4}\backslash tan\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$.

Решение:

Применение тригонометрических функций

1. Геометрия:

   • Расчёт длин сторон и углов в треугольниках.

2. Физика:

   • Описание колебаний и волн:

3. Информатика:
   • Построение графиков, моделирование вращений.

Задачи для закрепления

1. Постройте график функции $y=\cos xy\; =\; \backslash cos\; x$.
2. Найдите все решения уравнения $\tan x=\sqrt{3}\backslash tan\; x\; =\; \backslash sqrt\{3\}$.
3. Докажите тождество:$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{.}1\; +\; \backslash tan^2\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2\; x\}.$
4. Найдите значение $\sin x\backslash sin\; x$ при $x=\frac{\pi }{3}x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$.