Косинус

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Если дан прямоугольный треугольник $ABCABC$, где: $\mathrm{\angle }C=90^{\circ }\backslash angle\; C\; =\; 90^\backslash circ$, $\mathrm{\angle }A=\alpha \backslash angle\; A\; =\; \backslash alpha$, $bb$ — прилежащий катет (к углу $\alpha \backslash alpha$), $cc$ — гипотенуза, то:

Значение косинуса в единичной окружности

Косинус угла $\alpha \backslash alpha$ также определяется как координата $xx$ точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha \backslash alpha$.

• На единичной окружности: $r=1r\; =\; 1$, а $\cos \alpha \backslash cos\; \backslash alpha$ — это абсцисса точки пересечения радиуса с окружностью.

Основные значения косинуса

Свойства косинуса

1. Значение косинуса:
   Косинус угла лежит в диапазоне:

   $-1\le \cos \alpha \le 1.-1\; \backslash leq\; \backslash cos\; \backslash alpha\; \backslash leq\; 1.$

2. Симметрия:

   • $\cos (-\alpha )=\cos \alpha \backslash cos(-\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha$ (чётная функция).
   • $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos (\alpha )\backslash cos(180^\backslash circ\; -\; \backslash alpha)\; =\; -\backslash cos(\backslash alpha)$.

3. Периодичность:
   Косинус — периодическая функция:

   $\cos (\alpha +360^{\circ })=\cos (\alpha )\mathrm{.}\backslash cos(\backslash alpha\; +\; 360^\backslash circ)\; =\; \backslash cos(\backslash alpha).$

4. Косинус и координатные четверти:

   • В первой и четвёртой четвертях косинус положителен.
   • Во второй и третьей четвертях косинус отрицателен.

Формулы, связанные с косинусом

1. Основное тригонометрическое тождество:

   ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

2. Формулы приведения:

   • $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha \backslash cos(180^\backslash circ\; -\; \backslash alpha)\; =\; -\backslash cos\; \backslash alpha$,
   • $\cos (180^{\circ }+\alpha )=-\cos \alpha \backslash cos(180^\backslash circ\; +\; \backslash alpha)\; =\; -\backslash cos\; \backslash alpha$,
   • $\cos (360^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha \backslash cos(360^\backslash circ\; -\; \backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha$.

3. Сумма и разность углов:

   $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \mathrm{.}\backslash cos(\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta)\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha\; \backslash cos\; \backslash beta\; \backslash mp\; \backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash sin\; \backslash beta.$

4. Двойной угол:

   $\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha \mathrm{.}\backslash cos(2\backslash alpha)\; =\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; -\; \backslash sin^2\; \backslash alpha\; =\; 2\backslash cos^2\; \backslash alpha\; -\; 1\; =\; 1\; -\; 2\backslash sin^2\; \backslash alpha.$

5. Полуразность углов:

   $\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}},\backslash cos\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; =\; \backslash pm\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\; +\; \backslash cos\; \backslash alpha\}\{2\}\},$

   знак зависит от четверти.

Примеры

Пример 1: Нахождение косинуса

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a=3a\; =\; 3$, $b=4b\; =\; 4$ и гипотенузой $c=5c\; =\; 5$. Найдите $\cos \alpha \backslash cos\; \backslash alpha$, где $\alpha \backslash alpha$ — угол напротив катета $aa$.

Решение: По определению:

Подставим значения:

Ответ: $\cos \alpha =\frac{4}{5}\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}$.

Пример 2: Использование формулы суммы углов

Найдите $\cos (75^{\circ })\backslash cos(75^\backslash circ)$, зная, что $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }75^\backslash circ\; =\; 45^\backslash circ\; +\; 30^\backslash circ$.

Решение: Используем формулу суммы углов:

Подставим значения:

Ответ: $\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\backslash cos\; 75^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\; -\; \backslash sqrt\{2\}\}\{4\}$.

Пример 3: Проверка основного тождества

Дано: $\cos \alpha =\frac{4}{5}\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}$. Найдите $\sin \alpha \backslash sin\; \backslash alpha$.

Решение: Используем основное тригонометрическое тождество:

Подставим $\cos \alpha =\frac{4}{5}\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}$:

Ответ: $\sin \alpha =\pm \frac{3}{5}\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash pm\backslash frac\{3\}\{5\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите $\cos 60^{\circ }\backslash cos\; 60^\backslash circ$ и $\cos 45^{\circ }\backslash cos\; 45^\backslash circ$.
2. Дано: $\cos \alpha =0.6\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; 0.6$. Найдите $\sin \alpha \backslash sin\; \backslash alpha$.
3. Вычислите $\cos (120^{\circ })\backslash cos(120^\backslash circ)$, используя формулу приведения.
4. Доказать, что $\cos (2\alpha )=2{\cos }^2\alpha -1\backslash cos(2\backslash alpha)\; =\; 2\backslash cos^2\; \backslash alpha\; -\; 1$.

Заключение

Косинус — это одна из ключевых тригонометрических функций, которая используется для решения задач, связанных с углами, сторонами треугольников и тригонометрическими уравнениями. Знание свойств и формул косинуса позволяет эффективно работать с тригонометрией в геометрии, физике и математике.