Прямоугольные треугольники и теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$ (прямой угол).

Основные элементы:

• Катеты — две стороны, прилежащие к прямому углу.

• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла (самая длинная сторона треугольника).

Обозначения:

• $aa$, $bb$ — катеты,
• $cc$ — гипотенуза.

Теорема Пифагора

Формулировка

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

где:

• $cc$ — гипотенуза,
• $aa$, $bb$ — катеты.

Применение теоремы Пифагора

Пример 1: Нахождение гипотенузы

Задача: Даны катеты $a=3a\; =\; 3$ и $b=4b\; =\; 4$. Найти гипотенузу $cc$.

Решение:

Ответ: Гипотенуза $c=5c\; =\; 5$.

Пример 2: Нахождение катета

Задача: Даны гипотенуза $c=10c\; =\; 10$ и катет $a=6a\; =\; 6$. Найти второй катет $bb$.

Решение:

Подставим значения:

Ответ: Второй катет $b=8b\; =\; 8$.

Свойства прямоугольного треугольника

1. Обратная теорема Пифагора:
   Если для сторон треугольника выполняется равенство $c^2=a^2+b^{2}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$, то этот треугольник прямоугольный.

2. Медиана, проведённая к гипотенузе:
   Медиана делит гипотенузу пополам и равна половине её длины:

   $m=\frac{c}{2}\mathrm{.}m\; =\; \backslash frac\{c\}\{2\}.$

3. Высота, проведённая к гипотенузе:
   Высота делит треугольник на два подобных треугольника. Её длина:

   $h=\frac{a\cdot b}{c}\mathrm{.}h\; =\; \backslash frac\{a\; \backslash cdot\; b\}\{c\}.$

Применение теоремы Пифагора в задачах

Практическое применение

1. Вычисление расстояний в трёхмерном пространстве.
2. Построение прямых углов в геометрических задачах.
3. Проверка диагоналей прямоугольных фигур (например, в строительстве).

Пример: Проверка прямого угла

Даны стороны треугольника $a=5a\; =\; 5$, $b=12b\; =\; 12$, $c=13c\; =\; 13$. Является ли треугольник прямоугольным?

Решение: Проверим равенство:

Подставим значения:

Ответ: Треугольник прямоугольный.

Заключение

Теорема Пифагора — это одно из основополагающих утверждений в геометрии. Она позволяет находить длины сторон прямоугольного треугольника, проверять, является ли треугольник прямоугольным, и широко применяется в математике, физике и других науках.