Свойства треугольников

Сумма углов треугольника

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:

Углы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Высота, медиана, биссектриса

• Высота: Перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или её продолжение.

• Медиана: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Биссектриса: Отрезок, делящий угол треугольника пополам.

Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника)

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Теорема о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

Формулы для треугольников

Площадь треугольника

1. По основанию и высоте:

   $S=\frac{1}{2}ah\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; a\; h.$

2. По формуле Герона:

   $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},S\; =\; \backslash sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\},$

   где $p=\frac{a+b+c}{2}p\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$ — полупериметр.

3. Через синус угла:

   $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma \mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; ab\; \backslash sin\; \backslash gamma.$

Периметр треугольника

Сумма длин всех сторон:

Примеры

Пример 1: Найти третий угол треугольника

Если два угла равны $50^{\circ }50^\backslash circ$ и $60^{\circ }60^\backslash circ$, найдите третий угол.

Решение: Используем свойство:

Подставим:

Ответ: $\gamma =70^{\circ }\backslash gamma\; =\; 70^\backslash circ$.

Пример 2: Найти площадь треугольника

Основание треугольника равно $1010$ см, высота к основанию $h=6h\; =\; 6$ см. Найдите площадь.

Решение: Используем формулу:

Подставим:

Ответ: $S=30{\text{см}}^{2}S\; =\; 30\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Задачи для закрепления

1. В равнобедренном треугольнике основание равно $1212$ см, боковая сторона $1010$ см. Найдите периметр.
2. Найдите площадь треугольника со сторонами $a=7a\; =\; 7$, $b=9b\; =\; 9$, $c=12c\; =\; 12$ с помощью формулы Герона.
3. В прямоугольном треугольнике катеты равны $66$ см и $88$ см. Найдите гипотенузу.

Заключение

Свойства треугольников — это основа геометрии. Понимание их характеристик позволяет решать задачи на нахождение углов, сторон, площади и других параметров, а также исследовать сложные геометрические фигуры.