Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трёх сторон и трёх углов, образованных при соединении трёх точек (вершин) на плоскости.

Элементы треугольника

1. Вершины:
   Обозначаются заглавными буквами ($AA$, $BB$, $CC$).

2. Стороны:
   Отрезки, соединяющие вершины треугольника. Обозначаются строчными буквами ($aa$, $bb$, $cc$).

   • $aa$ — сторона напротив вершины $AA$,
   • $bb$ — сторона напротив вершины $BB$,
   • $cc$ — сторона напротив вершины $CC$.

3. Углы:
   Обозначаются греческими буквами ($\alpha \backslash alpha$, $\beta \backslash beta$, $\gamma \backslash gamma$).

   • $\alpha \backslash alpha$ — угол при вершине $AA$,
   • $\beta \backslash beta$ — угол при вершине $BB$,
   • $\gamma \backslash gamma$ — угол при вершине $CC$.

4. Высота:
   Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

5. Медиана:
   Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

6. Биссектриса:
   Отрезок, делящий угол треугольника пополам.

Классификация треугольников

По длинам сторон:

• Равносторонний:
  Все стороны равны ($a=b=ca\; =\; b\; =\; c$), все углы равны $60^{\circ }60^\backslash circ$.

• Равнобедренный:
  Две стороны равны ($a=ba\; =\; b$, $cc$ — основание), углы при основании равны.

• Разносторонний:
  Все стороны и углы разные.

По величине углов:

• Остроугольный:
  Все углы меньше $90^{\circ }90^\backslash circ$.

• Прямоугольный:
  Один из углов равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.
  Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, катеты — две другие стороны.

• Тупоугольный:
  Один из углов больше $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Свойства треугольника

1. Сумма углов треугольника:
   Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:

   $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; \backslash gamma\; =\; 180^\backslash circ.$

2. Неравенство треугольника:
   Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:

3. Свойства биссектрисы:
   Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

   $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\mathrm{.}\backslash frac\{BD\}\{DC\}\; =\; \backslash frac\{AB\}\{AC\}.$

4. Медиана в равностороннем треугольнике:
   В равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой и биссектрисой.

Формулы, связанные с треугольником

1. Площадь треугольника:

   $S=\frac{1}{2}ah,S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; a\; h,$

   где $aa$ — основание, $hh$ — высота.

2. Через синус угла:

3. Формула Герона:
   Если известны длины всех сторон ($aa$, $bb$, $cc$), то:

где $p=\frac{a+b+c}{2}p\; =\; \backslash frac\{a\; +\; b\; +\; c\}\{2\}$ — полупериметр.

2. Периметр треугольника:

   $P=a+b+c\mathrm{.}P\; =\; a\; +\; b\; +\; c.$

3. Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника):

   $c^2=a^2+b^2,c^2\; =\; a^2\; +\; b^2,$

   где $cc$ — гипотенуза.

4. Теорема синусов:

   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; \backslash gamma\}\; =\; 2R,$

   где $RR$ — радиус описанной окружности.

5. Теорема косинусов:

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \mathrm{.}c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\; \backslash cos\; \backslash gamma.$

Примеры

Пример 1: Найдите площадь треугольника

Дан треугольник с основанием $a=8a\; =\; 8$ см и высотой $h=5h\; =\; 5$ см. Найдите площадь.

Решение: Используем формулу площади:

Подставим значения:

Ответ: $S=20{\text{см}}^{2}S\; =\; 20\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 2: Проверка треугольника

Могут ли стороны $a=3a\; =\; 3$, $b=4b\; =\; 4$, $c=8c\; =\; 8$ образовать треугольник?

Решение: Проверим неравенство треугольника:

Подставим значения:

Первое условие не выполняется ($7≯87\; \backslash not>\; 8$). Значит, треугольник невозможен.

Ответ: Треугольник не существует.

Пример 3: Найдите гипотенузу

В прямоугольном треугольнике катеты $a=6a\; =\; 6$ и $b=8b\; =\; 8$. Найдите гипотенузу $cc$.

Решение: Используем теорему Пифагора:

Подставим значения:

Ответ: $c=10c\; =\; 10$.

Задачи для закрепления

1. Найдите площадь треугольника с основанием $1010$ см и высотой $44$ см.
2. В треугольнике $ABCABC$ даны: $a=6a\; =\; 6$, $b=8b\; =\; 8$, $c=10c\; =\; 10$. Проверьте, является ли треугольник прямоугольным.
3. Используя формулу Герона, найдите площадь треугольника с сторонами $55$, $66$, $77$.

Заключение

Треугольник — это основная фигура в геометрии, обладающая множеством свойств и связанных с ним формул. Понимание свойств и способов их применения помогает решать разнообразные задачи, связанные с углами, сторонами, площадью и периметром треугольника.