Элементы треугольника

1. Стороны

Стороны треугольника — это отрезки, соединяющие вершины.

• Обозначаются: $aa$, $bb$, $cc$.

• Свойства:

• Длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон (неравенство треугольника): $a+b>c,b+c>a,c+a>b\mathrm{.}a\; +\; b\; >\; c,\; \backslash quad\; b\; +\; c\; >\; a,\; \backslash quad\; c\; +\; a\; >\; b.$

• Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла.

2. Углы

Углы треугольника — это углы между сторонами, соединёнными в вершинах.

• Обозначаются: $\alpha \backslash alpha$, $\beta \backslash beta$, $\gamma \backslash gamma$.

• Свойства:

• Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$: $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; \backslash gamma\; =\; 180^\backslash circ.$

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• В равностороннем треугольнике каждый угол равен $60^{\circ }60^\backslash circ$.

3. Вершины

Вершины треугольника — это точки, где соединяются стороны.

• Обозначаются: $AA$, $BB$, $CC$.

Дополнительные элементы треугольника

1. Высота

• Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

• Обозначается $hh$.

• Свойства:

• Высота равностороннего треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

• В прямоугольном треугольнике одна из высот совпадает с катетом.

2. Медиана

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Свойства:

• Все медианы пересекаются в одной точке — центре тяжести, который делит каждую медиану в отношении $2:12:1$.

3. Биссектриса

• Отрезок, делящий угол треугольника пополам и соединяющий вершину с противоположной стороной.

• Свойства:

• Длина биссектрисы, проведённой к стороне $aa$:$l=\sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}\mathrm{.}l\; =\; \backslash sqrt\{bc\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{a^2\}\{(b+c)^2\}\backslash right)\}.$

• Все биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.

4. Средняя линия

• Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

• Свойства:

• Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины: $m=\frac{1}{2}c\mathrm{.}m\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}c.$

5. Окружности треугольника

• Описанная окружность:

• Проходит через все три вершины треугольника.

• Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

• Радиус описанной окружности: $R=\frac{abc}{4S},R\; =\; \backslash frac\{abc\}\{4S\},$ где $SS$ — площадь треугольника.

• Вписанная окружность:

• Касается всех сторон треугольника.

• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

• Радиус вписанной окружности:$r=\frac{S}{p},r\; =\; \backslash frac\{S\}\{p\},$ где $p=\frac{a+b+c}{2}p\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$ — полупериметр.

Примеры

Пример 1: Найти площадь треугольника через высоту

В треугольнике основание $a=10a\; =\; 10$ см, высота $h=6h\; =\; 6$ см. Найдите площадь.

Решение: Используем формулу:

Подставим:

Ответ: $30{\text{см}}^{2}30\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 2: Найти радиус вписанной окружности

Даны стороны треугольника: $a=6a\; =\; 6$, $b=8b\; =\; 8$, $c=10c\; =\; 10$. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Найдём полупериметр:$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+8+10}{2}=12.p\; =\; \backslash frac\{a\; +\; b\; +\; c\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{6\; +\; 8\; +\; 10\}\{2\}\; =\; 12.$
2. Найдём площадь треугольника (по формуле Герона):$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12\cdot (12-6)\cdot (12-8)\cdot (12-10)}=\sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{576}=24.S\; =\; \backslash sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\}\; =\; \backslash sqrt\{12\; \backslash cdot\; (12-6)\; \backslash cdot\; (12-8)\; \backslash cdot\; (12-10)\}\; =\; \backslash sqrt\{12\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; 2\}\; =\; \backslash sqrt\{576\}\; =\; 24.$
3. Радиус вписанной окружности:$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2.r\; =\; \backslash frac\{S\}\{p\}\; =\; \backslash frac\{24\}\{12\}\; =\; 2.$

Ответ: $r=2r\; =\; 2$.

Задачи для закрепления

1. В треугольнике $ABCABC$ основание $a=8a\; =\; 8$ см, высота $h=5h\; =\; 5$ см. Найдите площадь.
2. Найдите длину средней линии треугольника, если основание равно $1212$ см.
3. Вычислите радиус описанной окружности для треугольника со сторонами $a=7a\; =\; 7$, $b=8b\; =\; 8$, $c=9c\; =\; 9$.
4. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне $b=10b\; =\; 10$ см, если $a=8a\; =\; 8$ см и $c=12c\; =\; 12$ см.

Заключение

Элементы треугольника — это основа изучения геометрии. Понимание свойств высот, биссектрис, медиан, окружностей и других элементов позволяет эффективно решать задачи и анализировать различные виды треугольников.