Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

Свойства средней линии треугольника

1. Параллельность:
   Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника:

   $\text{Если }DE\text{ — средняя линия, то }DE\parallel BC\mathrm{.}\backslash text\{Если\; \}\; DE\; \backslash text\{\; —\; средняя\; линия,\; то\; \}\; DE\; \backslash parallel\; BC.$

2. Соотношение длин:
   Длина средней линии равна половине длины третьей стороны:

   $DE=\frac{1}{2}BC\mathrm{.}DE\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; BC.$

3. Разделение треугольника на два равновеликих треугольника:
   Средняя линия делит треугольник на два треугольника, равных по площади:

   $S_{\mathrm{△}ADE}=S_{\mathrm{△}DBE}\mathrm{.}S\_\{\backslash triangle\; ADE\}\; =\; S\_\{\backslash triangle\; DBE\}.$

4. В равностороннем треугольнике:
   Все три средние линии равны и пересекаются в одной точке, которая является также центром треугольника.

Вывод средней линии через координаты

Если даны вершины треугольника $A(x_1,y_1)A(x\_1,\; y\_1)$, $B(x_2,y_2)B(x\_2,\; y\_2)$, $C(x_3,y_3)C(x\_3,\; y\_3)$, то координаты средней линии, соединяющей середины сторон $ABAB$ и $ACAC$, находятся следующим образом:

1. Середина стороны $ABAB$:

   $M_1=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\mathrm{.}M\_1\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_2\}\{2\}\; \backslash right).$

2. Середина стороны $ACAC$:

   $M_2=(\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2})\mathrm{.}M\_2\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x\_3\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_3\}\{2\}\; \backslash right).$

3. Уравнение средней линии — это прямая, проходящая через точки $M_{1}M\_1$ и $M_{2}M\_2$.

Примеры

Пример 1: Найти длину средней линии

В треугольнике $ABCABC$ сторона $BC=10BC\; =\; 10$ см. Найдите длину средней линии, проведённой параллельно стороне $BCBC$.

Решение: По свойству средней линии:

Подставим:

Ответ: $DE=5\text{см}DE\; =\; 5\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Пример 2: Найти координаты средней линии

Треугольник задан вершинами $A(0,0)A(0,\; 0)$, $B(4,0)B(4,\; 0)$, $C(2,6)C(2,\; 6)$. Найдите координаты средней линии, соединяющей середины сторон $ABAB$ и $ACAC$.

Решение:

1. Середина $M_{1}M\_1$ стороны $ABAB$:

   $M_1=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})=(\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2})=(2,0)\mathrm{.}M\_1\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_2\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{0\; +\; 4\}\{2\},\; \backslash frac\{0\; +\; 0\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; (2,\; 0).$

2. Середина $M_{2}M\_2$ стороны $ACAC$:

   $M_2=(\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2})=(\frac{0+2}{2},\frac{0+6}{2})=(1,3)\mathrm{.}M\_2\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x\_3\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_1\; +\; y\_3\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{0\; +\; 2\}\{2\},\; \backslash frac\{0\; +\; 6\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; (1,\; 3).$

3. Средняя линия проходит через точки $M_1(2,0)M\_1(2,\; 0)$ и $M_2(1,3)M\_2(1,\; 3)$.

Ответ: Координаты средней линии: точки $M_1(2,0)M\_1(2,\; 0)$ и $M_2(1,3)M\_2(1,\; 3)$.

Пример 3: Разделение треугольника

Площадь треугольника $ABCABC$ равна $24{\text{см}}^{2}24\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$. Найдите площадь каждого из треугольников, образованных средней линией.

Решение: Средняя линия делит треугольник на два равновеликих треугольника:

Подставим:

Ответ: Площадь каждого треугольника равна $12{\text{см}}^{2}12\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину средней линии треугольника, если сторона, параллельная средней линии, равна $1414$ см.
2. Площадь треугольника $ABCABC$ равна $3636$ см². Какова площадь треугольников, образованных средней линией?
3. В треугольнике $ABCABC$ стороны $AB=6AB\; =\; 6$, $AC=8AC\; =\; 8$, $BC=10BC\; =\; 10$. Найдите длину средней линии, параллельной стороне $BCBC$.
4. Определите координаты средней линии треугольника с вершинами $A(2,3)A(2,\; 3)$, $B(6,5)B(6,\; 5)$, $C(4,9)C(4,\; 9)$.

Заключение

Средняя линия треугольника — это важный элемент, который используется для вычислений и доказательств в геометрии. Её свойства — параллельность и равенство половине третьей стороны — упрощают решение задач, связанных с треугольниками.