Высота треугольника

Высота треугольника — это отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно на противоположную сторону (основание) или на её продолжение. Точка пересечения высоты с основанием называется основанием высоты.

Свойства высот треугольника

1. Перпендикулярность:
   Высота всегда перпендикулярна противоположной стороне или её продолжению. Угол между высотой и основанием равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

2. Количество высот:
   В любом треугольнике можно провести три высоты — по одной из каждой вершины.

3. Точка пересечения высот:
   Все три высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром:

   • В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника.
   • В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
   • В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника.

4. Равносторонний треугольник:
   Все высоты равны между собой, и каждая из них также является медианой и биссектрисой.

5. Равнобедренный треугольник:
   Высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Формулы для высоты треугольника

1. Через основание и площадь: Если известны основание $aa$ и площадь треугольника $SS$, то высота $h_{a}h\_a$:

   $h_a=\frac{2S}{a}\mathrm{.}h\_a\; =\; \backslash frac\{2S\}\{a\}.$

2. Через стороны и угол: Если известны стороны $bb$ и $cc$ и угол между ними $\alpha \backslash alpha$, то высота $h_{a}h\_a$, проведённая к стороне $aa$, равна:

   $h_a=b\cdot \sin \alpha \mathrm{.}h\_a\; =\; b\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha.$

3. Через три стороны (формула Герона): Если известны стороны $aa$, $bb$, $cc$, то высота $h_{a}h\_a$, проведённая к стороне $aa$, вычисляется через площадь по формуле Герона:

   $h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},h\_a\; =\; \backslash frac\{2\}\{a\}\; \backslash sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\},$

   где $p=\frac{a+b+c}{2}p\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$ — полупериметр.

Высоты в различных типах треугольников

1. Прямоугольный треугольник:

   • Одна из высот совпадает с катетом.
   • Высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника.
   • Высота $hh$, проведённая к гипотенузе $cc$, выражается через катеты $aa$ и $bb$:$h=\frac{ab}{c}\mathrm{.}h\; =\; \backslash frac\{ab\}\{c\}.$

2. Равносторонний треугольник:

   • Все высоты равны и вычисляются через сторону $aa$:$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\mathrm{.}h\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}a.$

3. Равнобедренный треугольник:

   • Высота, проведённая к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
   • Вычисляется через боковые стороны $bb$ и основание $aa$:$h=\sqrt{b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\mathrm{.}h\; =\; \backslash sqrt\{b^2\; -\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{2\}\backslash right)^2\}.$

Примеры

Пример 1: Найти высоту треугольника через площадь

Площадь треугольника равна $3030$ см², а основание $a=10a\; =\; 10$ см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $h_a=6\text{см}h\_a\; =\; 6\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Пример 2: Найти высоту равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике сторона $a=8a\; =\; 8$ см. Найдите высоту.

Решение: Используем формулу для равностороннего треугольника:

Подставим значения:

Ответ: $h\approx 6.93\text{см}h\; \backslash approx\; 6.93\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Пример 3: Найти высоту через стороны

В треугольнике стороны $a=8a\; =\; 8$, $b=6b\; =\; 6$, $c=10c\; =\; 10$. Найдите высоту, проведённую к стороне $aa$.

Решение:

1. Найдём полупериметр:$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+6+10}{2}=12.p\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{8+6+10\}\{2\}\; =\; 12.$
2. Вычислим площадь по формуле Герона:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12(12-8)(12-6)(12-10)}=\sqrt{12\cdot 4\cdot 6\cdot 2}=\sqrt{576}=24.S\; =\; \backslash sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\}\; =\; \backslash sqrt\{12(12-8)(12-6)(12-10)\}\; =\; \backslash sqrt\{12\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; 2\}\; =\; \backslash sqrt\{576\}\; =\; 24.$
3. Найдём высоту:$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 24}{8}=6.h\_a\; =\; \backslash frac\{2S\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash cdot\; 24\}\{8\}\; =\; 6.$

Ответ: $h_a=6\text{см}h\_a\; =\; 6\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите высоту треугольника, если его площадь $S=50{\text{см}}^{2}S\; =\; 50\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$, а основание $a=20\text{см}a\; =\; 20\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.
2. В равнобедренном треугольнике основание $a=10\text{см}a\; =\; 10\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$, а боковая сторона $b=13\text{см}b\; =\; 13\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$. Найдите высоту.
3. В прямоугольном треугольнике катеты $a=6a\; =\; 6$, $b=8b\; =\; 8$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
4. В равностороннем треугольнике сторона равна $1010$ см. Найдите высоту.

Заключение

Высота треугольника — это ключевой элемент, который позволяет вычислять площади, анализировать свойства треугольников и решать задачи геометрии. Знание формул и свойств высоты помогает эффективно решать широкий круг задач.