Медиана треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Каждая медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

Свойства медианы треугольника

1. Все медианы пересекаются в одной точке:
   Эта точка называется центроидом или центром тяжести треугольника. Она делит каждую медиану в отношении $2:12:1$, считая от вершины.

2. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади:
   Если медиана делит сторону $BCBC$ на отрезки $BDBD$ и $DCDC$, то площади $\mathrm{△}ABD\backslash triangle\; ABD$ и $\mathrm{△}ACD\backslash triangle\; ACD$ равны.

3. В равностороннем треугольнике медианы равны друг другу:
   В равностороннем треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой.

4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Формула длины медианы

Для треугольника со сторонами $aa$, $bb$, $cc$ длина медианы $m_{a}m\_a$, проведённой к стороне $aa$, рассчитывается по формуле:

Аналогично можно найти $m_{b}m\_b$ и $m_{c}m\_c$, заменяя $aa$, $bb$, $cc$ местами.

Координатная формула медианы

Если треугольник задан вершинами $A(x_1,y_1)A(x\_1,\; y\_1)$, $B(x_2,y_2)B(x\_2,\; y\_2)$, $C(x_3,y_3)C(x\_3,\; y\_3)$, то медиана, проведённая из вершины $AA$, имеет координаты:

где $MM$ — середина стороны $BCBC$.

Примеры

Пример 1: Найти длину медианы

В треугольнике стороны $a=8a\; =\; 8$, $b=6b\; =\; 6$, $c=10c\; =\; 10$. Найдите длину медианы, проведённой к стороне $aa$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $m_a\approx 7.21m\_a\; \backslash approx\; 7.21$.

Пример 2: Координаты медианы

Треугольник задан вершинами $A(0,0)A(0,\; 0)$, $B(4,0)B(4,\; 0)$, $C(2,6)C(2,\; 6)$. Найдите координаты медианы, проведённой из вершины $AA$.

Решение:

1. Найдём координаты середины стороны $BCBC$:$M=(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2})=(\frac{4+2}{2},\frac{0+6}{2})=(3,3)\mathrm{.}M\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\_2\; +\; x\_3\}\{2\},\; \backslash frac\{y\_2\; +\; y\_3\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{4\; +\; 2\}\{2\},\; \backslash frac\{0\; +\; 6\}\{2\}\; \backslash right)\; =\; (3,\; 3).$
2. Медиана соединяет вершину $A(0,0)A(0,\; 0)$ с точкой $M(3,3)M(3,\; 3)$.

Ответ: Координаты медианы: $M(3,3)M(3,\; 3)$.

Пример 3: Площадь треугольников, разделённых медианой

В треугольнике $ABCABC$ основание $BC=10BC\; =\; 10$ см, высота $h=8h\; =\; 8$ см. Найдите площади треугольников, разделённых медианой, проведённой из вершины $AA$.

Решение:

1. Общая площадь треугольника:$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 8=40{\text{см}}^2\mathrm{.}S\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; BC\; \backslash cdot\; h\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 10\; \backslash cdot\; 8\; =\; 40\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2.$
2. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади:$S_1=S_2=\frac{40}{2}=20{\text{см}}^2\mathrm{.}S\_1\; =\; S\_2\; =\; \backslash frac\{40\}\{2\}\; =\; 20\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2.$

Ответ: $S_1=S_2=20{\text{см}}^{2}S\_1\; =\; S\_2\; =\; 20\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину медианы, проведённой к стороне $b=7b\; =\; 7$, если $a=6a\; =\; 6$, $c=8c\; =\; 8$.
2. В треугольнике $ABCABC$ стороны $AB=6AB\; =\; 6$, $BC=8BC\; =\; 8$, $AC=10AC\; =\; 10$. Найдите длину медианы, проведённой к стороне $BCBC$.
3. Определите координаты медианы треугольника с вершинами $A(1,2)A(1,\; 2)$, $B(5,4)B(5,\; 4)$, $C(3,8)C(3,\; 8)$.
4. Докажите, что медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Заключение

Медиана треугольника — это важный элемент, который позволяет делить треугольник на равные по площади части, а также является основой для множества вычислений. Знание формул и свойств медиан помогает эффективно решать задачи в геометрии и анализировать треугольники.