Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника — это отрезок, который:

1. Исходит из вершины треугольника.
2. Делит угол при вершине пополам.
3. Соединяет вершину с точкой на противоположной стороне (или её продолжении).

Свойства биссектрисы треугольника

1. Теорема о биссектрисе: Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:

   $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC},\backslash frac\{BD\}\{DC\}\; =\; \backslash frac\{AB\}\{AC\},$

   где $BDBD$ и $DCDC$ — части стороны $BCBC$, на которые делит её биссектриса $ADAD$.

2. Все биссектрисы пересекаются в одной точке: Эта точка называется центром вписанной окружности, которая касается всех сторон треугольника.

3. Биссектриса равностороннего треугольника:

   • Является также высотой и медианой.
   • Делит противоположную сторону пополам.

4. Биссектрисы равнобедренного треугольника:

   • Биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

Длина биссектрисы

Длину биссектрисы, проведённой к стороне $aa$, можно найти по формуле:

где:

• $aa$, $bb$, $cc$ — стороны треугольника,
• $bb$ и $cc$ — прилежащие стороны,
• $ll$ — длина биссектрисы.

Площадь через биссектрису

Если известна длина биссектрисы $ll$, то площадь треугольника можно вычислить по формуле:

где $\alpha \backslash alpha$ — угол при вершине, из которой проведена биссектриса.

Примеры

Пример 1: Пропорция отрезков, делённых биссектрисой

В треугольнике $ABCABC$ сторона $BC=12BC\; =\; 12$ см, стороны $AB=8AB\; =\; 8$ см и $AC=6AC\; =\; 6$ см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону $BCBC$.

Решение: По теореме о биссектрисе:

Подставим значения:

Пусть $BD=4xBD\; =\; 4x$, $DC=3xDC\; =\; 3x$. Тогда:

Ответ: $BD=8BD\; =\; 8$ см, $DC=6DC\; =\; 6$ см.

Пример 2: Найти длину биссектрисы

В треугольнике $ABCABC$ стороны $a=10a\; =\; 10$, $b=8b\; =\; 8$, $c=6c\; =\; 6$. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне $aa$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $l\approx 4.85l\; \backslash approx\; 4.85$.

Пример 3: Центр вписанной окружности

Найдите координаты центра вписанной окружности треугольника с вершинами $A(0,0)A(0,\; 0)$, $B(4,0)B(4,\; 0)$ и $C(2,3)C(2,\; 3)$.

Решение: Координаты центра вписанной окружности вычисляются как взвешенные средние по длинам сторон:

где $aa$, $bb$, $cc$ — длины сторон, $A_x,A_{y}A\_x,\; A\_y$, $B_x,B_{y}B\_x,\; B\_y$, $C_x,C_{y}C\_x,\; C\_y$ — координаты вершин.

1. Найдём длины сторон:

   $AB=4,BC=\sqrt{(4-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},AC=\sqrt{(2-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\mathrm{.}AB\; =\; 4,\; \backslash quad\; BC\; =\; \backslash sqrt\{(4-2)^2\; +\; (0-3)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{4\; +\; 9\}\; =\; \backslash sqrt\{13\},\; \backslash quad\; AC\; =\; \backslash sqrt\{(2-0)^2\; +\; (3-0)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{4\; +\; 9\}\; =\; \backslash sqrt\{13\}.$

2. Подставим в формулы координат:

   $I_x=\frac{4\cdot 0+\sqrt{13}\cdot 4+\sqrt{13}\cdot 2}{4+\sqrt{13}+\sqrt{13}},I_y=\frac{4\cdot 0+\sqrt{13}\cdot 0+\sqrt{13}\cdot 3}{4+\sqrt{13}+\sqrt{13}}\mathrm{.}I\_x\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash cdot\; 0\; +\; \backslash sqrt\{13\}\; \backslash cdot\; 4\; +\; \backslash sqrt\{13\}\; \backslash cdot\; 2\}\{4\; +\; \backslash sqrt\{13\}\; +\; \backslash sqrt\{13\}\},\; \backslash quad\; I\_y\; =\; \backslash frac\{4\; \backslash cdot\; 0\; +\; \backslash sqrt\{13\}\; \backslash cdot\; 0\; +\; \backslash sqrt\{13\}\; \backslash cdot\; 3\}\{4\; +\; \backslash sqrt\{13\}\; +\; \backslash sqrt\{13\}\}.$

Ответ: Координаты центра вписанной окружности можно найти численно.

Задачи для закрепления

1. В треугольнике $ABCABC$ стороны $AB=8AB\; =\; 8$ см, $AC=6AC\; =\; 6$ см, $BC=10BC\; =\; 10$ см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону $BCBC$.
2. Найдите длину биссектрисы в треугольнике со сторонами $a=7a\; =\; 7$, $b=9b\; =\; 9$, $c=11c\; =\; 11$.
3. Определите радиус вписанной окружности для треугольника со сторонами $88$, $1515$, $1717$ см.

Заключение

Биссектриса треугольника — это важный элемент, обладающий интересными геометрическими свойствами. Знание формул и теорем, связанных с биссектрисой, позволяет решать задачи на нахождение отрезков, площадей и построение треугольников.