Углы

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

• Лучи называются сторонами угла.

• Точка, из которой исходят лучи, называется вершиной угла.

Обозначение

• Угол обозначается символом $\mathrm{\angle }\backslash angle$ с указанием точек на сторонах угла и вершины: $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, где $BB$ — вершина, а $AA$ и $CC$ — точки на сторонах.
• Иногда угол обозначается одной буквой: $\mathrm{\angle }\alpha \backslash angle\; \backslash alpha$, $\mathrm{\angle }\beta \backslash angle\; \backslash beta$.

Единицы измерения углов

1. Градусы (${}^{\circ }^\backslash circ$):

   • Полный угол равен $360^{\circ }360^\backslash circ$.
   • Прямой угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

2. Радианы:

   • Полный угол равен $2\pi 2\backslash pi$ радиан.
   • Прямой угол равен $\frac{\pi }{2}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ радиан.

3. Грады:

   • Полный угол равен $400400$ градам.
   • Прямой угол равен $100100$ градов.

Виды углов

1. Острый угол:

2. Прямой угол:

   $\alpha =90^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ.$

3. Тупой угол:

4. Развёрнутый угол:

   $\alpha =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; =\; 180^\backslash circ.$

5. Угол больше $180^{\circ }180^\backslash circ$:

Взаимное расположение углов

1. Смежные углы - два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две другие являются продолжениями друг друга.

   • Сумма смежных углов всегда равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

2. Вертикальные углы - два угла называются вертикальными, если стороны одного являются продолжением сторон другого.

   • Вертикальные углы равны.

Сумма углов в треугольнике

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:

Измерение углов

Для измерения углов используют транспортир. Процесс измерения:

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла.
2. Одна сторона угла должна совпасть с начальной отметкой ($0^{\circ }0^\backslash circ$) транспортира.
3. Определите значение на шкале, где проходит вторая сторона угла.

Примеры

Пример 1: Определение вида угла

Дан угол $\mathrm{\angle }ABC=75^{\circ }\backslash angle\; ABC\; =\; 75^\backslash circ$. Какой это угол?

Решение: $75^{\circ }75^\backslash circ$ находится в диапазоне , следовательно, угол острый.

Ответ: Острый угол.

Пример 2: Сумма углов треугольника

В треугольнике один угол равен $60^{\circ }60^\backslash circ$, а второй — $80^{\circ }80^\backslash circ$. Найдите третий угол.

Решение: Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$. Третий угол:

Ответ: Третий угол равен $40^{\circ }40^\backslash circ$.

Пример 3: Вертикальные углы

Если один из вертикальных углов равен $120^{\circ }120^\backslash circ$, найдите второй угол.

Решение: Вертикальные углы равны:

Ответ: Второй угол равен $120^{\circ }120^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Определите вид угла, если его величина $135^{\circ }135^\backslash circ$.
2. Найдите угол, смежный с углом $45^{\circ }45^\backslash circ$.
3. В треугольнике один угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$, второй — $30^{\circ }30^\backslash circ$. Найдите третий угол.
4. Один из вертикальных углов равен $85^{\circ }85^\backslash circ$. Найдите второй угол.

Заключение

Углы — это один из ключевых элементов геометрии, используемых для изучения фигур и их свойств. Знание видов углов и их взаимного расположения помогает решать множество задач, связанных с измерением и расчётом углов в геометрии и прикладных науках.