Секущие, касательные и хорды

В геометрии окружностей важными элементами являются секущие, касательные и хорды. Эти понятия описывают различные взаимодействия прямых с окружностями и имеют ряд важных свойств и теорем, которые играют ключевую роль в решении задач.

Секущая

Секущей называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Свойства секущей:

• Секущая делит окружность на два дуги.

• Теорема о секущей: Если секущая пересекает окружность в двух точках $AA$ и $BB$, и $CC$ — точка пересечения секущей с внешней прямой, то выполняется равенство:

  $CA\cdot CB=CD\cdot CE\mathrm{.}CA\; \backslash cdot\; CB\; =\; CD\; \backslash cdot\; CE.$

  Где $CACA$ и $CBCB$ — отрезки секущей, а $CDCD$ и $CECE$ — отрезки других секущих.

Касательная

Касательной называется прямая, которая касается окружности в одной точке, называемой точкой касания.

Свойства касательной:

• Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Если прямая касается окружности в точке $TT$, то расстояние от центра окружности $OO$ до прямой равно радиусу окружности $rr$.
• Теорема о касательной: Если из точки $MM$ проведены две касательные к окружности, то эти касательные равны по длине, и угол между касательными равен углу, заключенному между радиусами, проведенными в точки касания.

Хорда

Хордой называется отрезок, который соединяет две точки на окружности.

Свойства хорды:

• Хорда делит окружность на две дуги.

• Теорема о хорде: Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит хорду пополам и перпендикулярно ее.

  Также существует теорема о длине хорды: Если угол $\theta \backslash theta$ между центром окружности и концами хорды $AA$ и $BB$ равен, то длина хорды $ll$ вычисляется по формуле:

  $l=2\cdot R\cdot \sin \left(\frac{\theta }{2}\right),l\; =\; 2\; \backslash cdot\; R\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; \backslash right),$

  где $RR$ — радиус окружности, $\theta \backslash theta$ — центральный угол, соответствующий хорде.

Взаимосвязь секущих, касательных и хорд

1. Секущая и касательная:
   • Теорема о секущей и касательной: если из внешней точки проведены секущая и касательная к окружности, то произведение отрезков секущей от точки до точки касания окружности равно квадрату длины касательной.

2. Секущая и хорда:
   • Если одна из сторон секущей является хорда, то длина части секущей, пересекающей хорду, зависит от длины этой хорды. В случае пересечения двух секущих применимы теоремы о произведении отрезков.

Примеры:

1. Пример с секущей: Пусть прямая $ll$ пересекает окружность в точках $AA$ и $BB$, а $PP$ — внешняя точка, лежащая на секущей. Если $PA=4PA\; =\; 4$ и $PB=6PB\; =\; 6$, то по теореме о секущей получаем:

   $PA\cdot PB=4\cdot 6=24.PA\; \backslash cdot\; PB\; =\; 4\; \backslash cdot\; 6\; =\; 24.$

2. Пример с касательной: Пусть из точки $MM$ проведена касательная к окружности, касаясь в точке $TT$. Если длина касательной $MT=5MT\; =\; 5$, то расстояние от центра окружности до точки $MM$ будет равно радиусу окружности $r=5r\; =\; 5$ (так как касательная и радиус перпендикулярны).

Заключение

Секущие, касательные и хорды играют важную роль в геометрии окружностей, и их свойства широко применяются для решения задач на построение и доказательства. Знание этих теорем и их взаимосвязи помогает эффективно решать геометрические задачи и анализировать различные фигуры, связанные с окружностями.