Длина окружности и площадь круга

Окружность и круг — это одни из самых основных и широко используемых объектов в геометрии. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой на одинаковом расстоянии от центра.

Круг же — это область внутри окружности, включая саму окружность. Для решения различных геометрических задач важно уметь вычислять длину окружности и площадь круга, зная их формулы и основы.

Длина окружности

Длина окружности — это периметр окружности, то есть расстояние вокруг окружности.

Формула для длины окружности:

Длину окружности можно найти по следующей формуле:

где: $LL$ — длина окружности, $\pi \backslash pi$ — математическая постоянная (приблизительно $3.141593.14159$), $rr$ — радиус окружности.

Пример:

Пусть радиус окружности $r=5r\; =\; 5$ см. Тогда длина окружности будет:

Площадь круга

Площадь круга — это величина, которая измеряет пространство внутри круга, ограниченного окружностью.

Формула для площади круга:

Площадь круга можно найти по следующей формуле:

где: $SS$ — площадь круга, $\pi \backslash pi$ — математическая постоянная, $rr$ — радиус окружности.

Пример:

Площадь круга с радиусом $r=3r\; =\; 3$ см будет:

Связь между длиной окружности и площадью круга

Интересно, что между длиной окружности и площадью круга существует простая связь. Если у нас есть круг с радиусом $rr$, то длина его окружности $LL$ и площадь $SS$ могут быть записаны как:

1. Длина окружности: $L=2\pi rL\; =\; 2\; \backslash pi\; r$,
2. Площадь круга: $S=\pi r^{2}S\; =\; \backslash pi\; r^2$.

Таким образом, радиус окружности можно выразить как:

Подставив это значение в формулу для площади круга, получаем:

Применение формул

1. Пример вычисления длины окружности: Если радиус окружности $r=7r\; =\; 7$ см, то длина окружности будет равна:

   $L=2\pi \cdot 7=14\pi \approx 43.98\text{см}\mathrm{.}L\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 7\; =\; 14\; \backslash pi\; \backslash approx\; 43.98\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}.$

2. Пример вычисления площади круга: Если радиус круга $r=4r\; =\; 4$ см, то площадь круга будет равна:

   $S=\pi \cdot 4^2=16\pi \approx 50.24{\text{см}}^2\mathrm{.}S\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 4^2\; =\; 16\; \backslash pi\; \backslash approx\; 50.24\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2.$

3. Перевод длины окружности в площадь: Пусть длина окружности равна $L=20L\; =\; 20$ см. Сначала находим радиус:

   $r=\frac{L}{2\pi }=\frac{20}{2\pi }\approx 3.18\text{см}\mathrm{.}r\; =\; \backslash frac\{L\}\{2\; \backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{20\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash approx\; 3.18\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}.$

   Теперь находим площадь круга:

   $S=\pi r^2\approx \pi \cdot (3.18{)}^2\approx 31.8{\text{см}}^2\mathrm{.}S\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash approx\; \backslash pi\; \backslash cdot\; (3.18)^2\; \backslash approx\; 31.8\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2.$

Заключение

Знание формул для длины окружности и площади круга позволяет решать разнообразные геометрические задачи, связанные с окружностями и кругами. Эти формулы являются основными инструментами для вычислений в геометрии, инженерии, физике и других областях.