Основные

Курсы

Другое

Геометрические преобразования

Геометрические преобразования — это операции, которые изменяют положение или форму геометрических фигур в пространстве. Они могут изменять как размер, так и ориентацию объектов, но не всегда изменяют их форму или величину. Геометрические преобразования лежат в основе многих математических и инженерных задач, таких как симметрия, маппинг, а также в компьютерной графике.

В математике выделяют несколько типов геометрических преобразований, каждое из которых имеет свои особенности и свойства.

Типы геометрических преобразований

Перенос (трансляция)

Перенос — это преобразование, при котором фигура сдвигается на определённое расстояние в определённом направлении. Все точки фигуры сохраняют свою форму и ориентацию, но их положение меняется.

Формула для переноса:

Пусть точка $A (x, y)$ подвергается переносу на вектор $\vec{v} = (a, b)$ , тогда её новое положение будет:

A^{'} (x^{'}, y^{'}) = (x + a, y + b) .

Пример:

Пусть точка $A (2, 3)$ переносится на вектор $\vec{v} = (4, -2)$ . Тогда новая точка будет:

A^{'} (6, 1) .

Отражение

Отражение — это преобразование, при котором фигура изменяет своё положение относительно некоторой оси (или плоскости) так, что каждая точка фигуры “отражается” через ось или плоскость. Оси отражения могут быть различными: горизонтальная, вертикальная или даже произвольная линия.

Отражение относительно оси $x$ : $A^{'} (x, - y)$ .
Отражение относительно оси $y$ : $A^{'} (- x, y)$ .

Пример:

Пусть точка $A (3, 4)$ подвергается отражению относительно оси $x$ . Тогда её новая координата будет:

A^{'} (3, - 4) .

Поворот

Поворот — это преобразование, при котором фигура поворачивается на определённый угол относительно точки. Эта точка называется центром поворота. Важным аспектом является то, что фигура сохраняет свою форму, а все её углы остаются неизменными, однако она может измениться в пространственном расположении.

Формула для поворота:

Пусть точка $A (x, y)$ поворачивается на угол $\theta$ вокруг начала координат. Тогда её новые координаты $A^{'} (x^{'}, y^{'})$ вычисляются по формулам:

x' = x \cos \theta - y \sin \theta,

y' = x \sin \theta + y \cos \theta.

Пример:

Пусть точка $A (1, 0)$ поворачивается на угол $90^\circ$ . Тогда её новые координаты будут:

x' = 1 \cdot \cos(90^\circ) - 0 \cdot \sin(90^\circ) = 0,

y' = 1 \cdot \sin(90^\circ) + 0 \cdot \cos(90^\circ) = 1.

Точка $A (1, 0)$ после поворота на $90^\circ$ станет $A^{'} (0, 1)$ .

Масштабирование (растяжение и сжатие)

Масштабирование — это преобразование, при котором фигура увеличивается или уменьшается в размерах, сохраняя свою форму. Каждая точка фигуры перемещается вдоль прямой, проходящей через неё и центр масштабирования, на расстояние, пропорциональное коэффициенту масштабирования.

Формула для масштабирования:

Пусть точка $A (x, y)$ подвергается масштабированию с коэффициентом $k$ , тогда её новые координаты $A^{'} (x^{'}, y^{'})$ будут:

x' = k \cdot x,

y' = k \cdot y.

Если $k > 1$ , то фигура увеличивается, если $k < 1$ , то она уменьшается.

Пример:

Пусть точка $A (2, 3)$ подвергается масштабированию с коэффициентом $k = 2$ . Тогда её новые координаты будут:

A^{'} (4, 6) .

Скручивания (спиральные преобразования)

Скручивание (или спиральное преобразование) — это более сложный вид преобразования, при котором фигура изменяется таким образом, что её точки перемещаются по спирали, изменяя не только своё положение, но и ориентацию.

Свойства геометрических преобразований

Композиция преобразований: Несколько преобразований могут быть объединены в одно с помощью композиции. Например, если применить сначала перенос, а затем отражение, то результатом будет комбинированное преобразование, которое можно описать одной операцией.
Обратимость: Некоторые геометрические преобразования являются обратимыми, то есть существует операция, которая “отменяет” эффект преобразования. Например, для поворота на угол $\theta$ существует обратное преобразование — поворот на $-\theta$ . Также для отражения и переноса можно найти обратные преобразования.
Сохранение формы: Геометрические преобразования, такие как повороты, отражения и сдвиги, сохраняют форму фигуры. В то время как масштабирование и некоторые другие преобразования могут изменять размеры.

Заключение

Геометрические преобразования играют важную роль в математике и многих областях науки. Они широко применяются в изучении симметрии, векторном анализе, а также в компьютерной графике. Важно понимать основные типы преобразований, их свойства и способы применения для решения геометрических задач.