Масштабирование (растяжение и сжатие)

Масштабирование — это геометрическое преобразование, при котором фигура изменяет свои размеры, но сохраняет форму. Масштабирование может быть растяжением (увеличением) или сжатием (уменьшением). В отличие от других преобразований, таких как поворот или перенос, при масштабировании фигура сохраняет свои углы и пропорции, но изменяет свои линейные размеры.

Определение

Масштабирование (или подобие) — это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается вдоль прямой, проходящей через неё и центр масштабирования, на расстояние, пропорциональное её исходному расстоянию от центра масштабирования. Все точки фигуры изменяют своё положение в соответствии с заданным коэффициентом масштабирования.

Если фигура масштабируется с коэффициентом $kk$, то расстояния между точками увеличиваются или уменьшаются в $kk$ раз, в зависимости от того, больше или меньше 1 этот коэффициент.

Формулы для масштабирования

Если точка $A(x,y)A(x,\; y)$ масштабируется относительно начала координат с коэффициентом $kk$, то её новые координаты $A^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})$ вычисляются по следующим формулам:

• $x^{\mathrm{\prime }}=k\cdot xx\text{'}\; =\; k\; \backslash cdot\; x$
• $y^{\mathrm{\prime }}=k\cdot yy\text{'}\; =\; k\; \backslash cdot\; y$

Если центр масштабирования находится в произвольной точке $(x_0,y_0)(x\_0,\; y\_0)$, то для точки $A(x,y)A(x,\; y)$ новые координаты вычисляются следующим образом:

• $x^{\mathrm{\prime }}=x_0+k\cdot (x-x_0)x\text{'}\; =\; x\_0\; +\; k\; \backslash cdot\; (x\; -\; x\_0)$
• $y^{\mathrm{\prime }}=y_0+k\cdot (y-y_0)y\text{'}\; =\; y\_0\; +\; k\; \backslash cdot\; (y\; -\; y\_0)$

Где:

• $kk$ — коэффициент масштабирования;
• $(x_0,y_0)(x\_0,\; y\_0)$ — координаты центра масштабирования.

Виды масштабирования

1. Растяжение (увеличение): Масштабирование с коэффициентом $k>1k\; >\; 1$ называется растяжением. В этом случае все точки фигуры удаляются от центра масштабирования, и размеры фигуры увеличиваются.

2. Сжатие (уменьшение): Масштабирование с коэффициентом называется сжатием. В этом случае все точки фигуры приближаются к центру масштабирования, и размеры фигуры уменьшаются.

3. Отражение (сдвиг): Масштабирование с коэффициентом $k=-1k\; =\; -1$ приводит к зеркальному отображению фигуры относительно центра масштабирования.

Свойства масштабирования

1. Сохранение формы: Масштабирование сохраняет форму фигуры, то есть углы и пропорции между сторонами остаются неизменными.

2. Изменение размеров: Масштабирование изменяет размеры фигуры в $kk$ раз. Например, если коэффициент $k=2k\; =\; 2$, то размеры фигуры удваиваются, если $k=\frac{1}{2}k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ — размеры уменьшаются в 2 раза.

3. Сохранение углов: Масштабирование не изменяет углы между прямыми. То есть углы внутри фигуры остаются теми же, что и до масштабирования.

4. Центр масштабирования: Если центр масштабирования совпадает с центром фигуры, то она будет симметрична относительно этого центра.

5. Обратимость: Масштабирование является обратимым преобразованием. Если фигура была масштабирована с коэффициентом $kk$, то её можно вернуть в исходное состояние, применив масштабирование с коэффициентом $\frac{1}{k}\backslash frac\{1\}\{k\}$.

Пример

Пусть дана точка $A(2,3)A(2,\; 3)$, и нужно масштабировать её относительно начала координат с коэффициентом $k=2k\; =\; 2$. Тогда новые координаты точки будут:

• $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 2=4x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; =\; 4$
• $y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 3=6y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 6$

Точка $A(2,3)A(2,\; 3)$ после масштабирования с коэффициентом $22$ будет иметь координаты $A^{\mathrm{\prime }}(4,6)A\text{'}(4,\; 6)$.

Если бы мы использовали коэффициент $k=\frac{1}{2}k\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$, то новые координаты точки были бы:

• $x^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot 2=1x\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 2\; =\; 1$
• $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot 3=1.5y\text{'}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 3\; =\; 1.5$

Таким образом, точка $A(2,3)A(2,\; 3)$ после масштабирования с коэффициентом $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ будет иметь координаты $A^{\mathrm{\prime }}(1,1.5)A\text{'}(1,\; 1.5)$.

Применение масштабирования

Масштабирование широко используется в различных областях:

1. Геометрия — анализ подобия фигур, доказательства теорем, решение задач на подобие.
2. Математика — работа с графиками функций, анализ изменений размеров объектов.
3. Компьютерная графика — изменение размеров изображений, анимация, моделирование объектов.
4. Инженерия — проектирование и моделирование объектов, создание масштабных чертежей и моделей.

Заключение

Масштабирование — это важное геометрическое преобразование, которое сохраняет форму и пропорции фигуры, но изменяет её размеры в $kk$ раз. Оно широко используется в разных областях для анализа и моделирования, а также в задачах на подобие и симметрию. Масштабирование позволяет эффективно работать с размерами объектов, не изменяя их форму и углы.