Поворот

Поворот — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается вокруг фиксированной точки (центра поворота) на определённый угол. В результате поворота фигура сохраняет свою форму и размеры, а также ориентацию. Это преобразование является одной из основных операций в геометрии и используется для работы с симметриями и преобразованиями объектов в различных областях науки и техники.

Определение

Поворот — это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается вокруг центра поворота на определённый угол в определённом направлении (по часовой или против часовой стрелки). Центр поворота остаётся неподвижным, а расстояние от центра до каждой точки фигуры сохраняется.

Если точка $A(x,y)A(x,\; y)$ поворачивается на угол $\alpha \backslash alpha$ вокруг центра координат $(0,0)(0,\; 0)$, то её новые координаты $A^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})$ вычисляются по следующим формулам:

Формулы для поворота на угол $\alpha \backslash alpha$:

1. Поворот против часовой стрелки на угол $\alpha \backslash alpha$:

   • $x^{\mathrm{\prime }}=x\cdot \cos \alpha -y\cdot \sin \alpha x\text{'}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash alpha\; -\; y\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha$
   • $y^{\mathrm{\prime }}=x\cdot \sin \alpha +y\cdot \cos \alpha y\text{'}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash alpha$

2. Поворот по часовой стрелке на угол $\alpha \backslash alpha$:

   • $x^{\mathrm{\prime }}=x\cdot \cos \alpha +y\cdot \sin \alpha x\text{'}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash alpha\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha$
   • $y^{\mathrm{\prime }}=-x\cdot \sin \alpha +y\cdot \cos \alpha y\text{'}\; =\; -x\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash alpha$

Геометрическая интерпретация

Поворот вокруг центра представляет собой движение всех точек фигуры на одинаковое расстояние от центра на заданный угол. Важно отметить, что центр поворота остаётся неподвижным, а остальные точки перемещаются по окружности вокруг этого центра. Направление поворота (по часовой стрелке или против часовой стрелки) влияет на знак угла и на то, как вычисляются новые координаты точек.

Свойства поворота

1. Сохранение расстояний: Поворот сохраняет расстояния между точками. Это означает, что фигура после поворота сохраняет свою форму и размер.

2. Сохранение углов: Поворот сохраняет углы между прямыми. То есть углы внутри фигуры после поворота остаются неизменными.

3. Сохранение ориентации: Поворот сохраняет ориентацию фигуры. Например, если фигура была ориентирована по часовой стрелке, то она останется ориентированной по часовой стрелке после поворота.

4. Обратимость: Поворот — это обратимое преобразование. То есть, если фигура была повернута на угол $\alpha \backslash alpha$, то можно вернуть её в исходное положение, повернув на угол $-\alpha -\backslash alpha$.

5. Точка поворота остаётся неизменной: Центр поворота остаётся на своём месте, и только остальные точки фигуры изменяют свои координаты.

Пример

Пусть точка $A(2,3)A(2,\; 3)$ поворачивается на угол $90^{\circ }90^\backslash circ$ против часовой стрелки относительно начала координат. Для этого используем формулы для поворота:

1. $x^{\mathrm{\prime }}=x\cdot \cos 90^{\circ }-y\cdot \sin 90^{\circ }=2\cdot 0-3\cdot 1=-3x\text{'}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash cos\; 90^\backslash circ\; -\; y\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 90^\backslash circ\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0\; -\; 3\; \backslash cdot\; 1\; =\; -3$
2. $y^{\mathrm{\prime }}=x\cdot \sin 90^{\circ }+y\cdot \cos 90^{\circ }=2\cdot 1+3\cdot 0=2y\text{'}\; =\; x\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 90^\backslash circ\; +\; y\; \backslash cdot\; \backslash cos\; 90^\backslash circ\; =\; 2\; \backslash cdot\; 1\; +\; 3\; \backslash cdot\; 0\; =\; 2$

Итак, новая позиция точки будет $A^{\mathrm{\prime }}(-3,2)A\text{'}(-3,\; 2)$.

Применение поворота

Поворот широко используется в различных областях:

1. Математика и геометрия — анализ симметрий, доказательства теорем, решение задач на преобразования.
2. Компьютерная графика — создание анимаций, поворот объектов в 3D-моделях, симуляция вращения.
3. Физика — анализ вращения объектов, например, вращение планет, спутников, механических частей.
4. Инженерия — моделирование движущихся частей машин, проектирование деталей и механизмов.

Заключение

Поворот — это важное геометрическое преобразование, которое сохраняет форму, размер и ориентацию фигуры, но изменяет её расположение. Оно активно используется для работы с симметриями, созданием анимаций, моделированием вращающихся объектов и решением задач в различных областях науки и техники.