Перенос (трансляция)

Перенос, или трансляция, — это одно из фундаментальных геометрических преобразований. При переносе вся фигура сдвигается на одинаковое расстояние в определённом направлении, не меняя своей формы и ориентации. То есть все точки фигуры перемещаются одинаково.

Перенос является изоморфным преобразованием, что означает, что он сохраняет все расстояния и углы, а также пропорции внутри фигуры. После переноса фигура остаётся идентичной своей исходной форме.

Определение

Перенос — это преобразование, при котором каждая точка геометрической фигуры перемещается на одинаковое расстояние вдоль одного и того же направления. Это движение можно описать с помощью вектора, который определяет сдвиг всех точек фигуры.

Формула для переноса

Пусть точка $A(x,y)A(x,\; y)$ подвергается переносу на вектор $\vec{v}=(a,b)\backslash vec\{v\}\; =\; (a,\; b)$. Тогда новые координаты точки $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ после переноса будут:

где:

• $(x,y)(x,\; y)$ — исходные координаты точки $AA$,
• $(a,b)(a,\; b)$ — координаты вектора переноса,
• $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})(x\text{'},\; y\text{'})$ — новые координаты точки после переноса.

Геометрическая интерпретация

Перенос можно представить как сдвиг фигуры в пространстве. Например, если у нас есть треугольник с вершинами $A(1,2)A(1,\; 2)$, $B(3,4)B(3,\; 4)$ и $C(5,6)C(5,\; 6)$, то, если мы применим перенос на вектор $\vec{v}=(2,3)\backslash vec\{v\}\; =\; (2,\; 3)$, то все вершины сдвинутся на этот вектор.

• Точка $A(1,2)A(1,\; 2)$ после переноса станет $A^{\mathrm{\prime }}(3,5)A\text{'}(3,\; 5)$,
• Точка $B(3,4)B(3,\; 4)$ станет $B^{\mathrm{\prime }}(5,7)B\text{'}(5,\; 7)$,
• Точка $C(5,6)C(5,\; 6)$ станет $C^{\mathrm{\prime }}(7,9)C\text{'}(7,\; 9)$.

Таким образом, все точки фигуры сдвигаются на одинаковое расстояние в одинаковом направлении, что позволяет фигуре оставаться в той же форме, но сдвинутой в пространстве.

Пример

Пусть точка $A(2,3)A(2,\; 3)$ подвергается переносу на вектор $\vec{v}=(-4,1)\backslash vec\{v\}\; =\; (-4,\; 1)$.

• Исходные координаты точки $AA$ равны $(2,3)(2,\; 3)$.
• Вектор переноса $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ равен $(-4,1)(-4,\; 1)$.

Теперь вычислим новые координаты:

Таким образом, точка $AA$ после переноса на вектор $\vec{v}=(-4,1)\backslash vec\{v\}\; =\; (-4,\; 1)$ становится $A^{\mathrm{\prime }}(-2,4)A\text{'}(-2,\; 4)$.

Свойства переноса

1. Сохранение расстояний и углов: Перенос сохраняет все расстояния между точками, а также углы между прямыми. Это означает, что форма и размеры фигуры не изменяются.

2. Одинаковое перемещение всех точек: Все точки фигуры перемещаются одинаково, на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.

3. Линейность: Если применить два переноса подряд, то результат можно описать одним переносом, который является суммой двух векторов.

4. Обратимость: Перенос является обратимым преобразованием. Чтобы отменить перенос, достаточно применить перенос с обратным вектором. Если $AA$ сдвигается на вектор $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, то для восстановления исходного положения необходимо выполнить перенос на $-\vec{v}-\backslash vec\{v\}$.

5. Сохранение прямолинейности: Применение переноса к прямым или кривым не меняет их характера. Например, прямая остаётся прямой после переноса.

Заключение

Перенос — это простое, но важное геометрическое преобразование, которое находит широкое применение в различных областях математики и физики. Он сохраняет форму и размеры фигур, делая возможным перемещение объектов в пространстве. Перенос является важным инструментом при решении задач, связанных с симметрией, а также в компьютерной графике и других областях.