Окружность

Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки.

• Центр окружности — это заданная точка.

• Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки окружности.

Элементы окружности

1. Центр ($OO$) - Точка, от которой равноудалены все точки окружности.

2. Радиус ($rr$) - Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Все радиусы окружности равны.

3. Диаметр ($dd$) - Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Связь с радиусом: $d=2r\mathrm{.}d\; =\; 2r.$

4. Хорда - Отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр — это самая длинная хорда.

5. Секущая - Прямая, пересекающая окружность в двух точках.

6. Касательная - Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
   Свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

7. Дуга - Часть окружности между двумя её точками.

Уравнение окружности

На плоскости с прямоугольной системой координат уравнение окружности с центром в точке $O(a,b)O(a,\; b)$ и радиусом $rr$ имеет вид:

Если центр окружности находится в начале координат ($O(0,0)O(0,\; 0)$), то уравнение упрощается:

Свойства окружности

1. Все радиусы равны:

   • Радиусы, проведённые из центра к любой точке окружности, равны.

2. Диаметр делит окружность пополам:

   • Диаметр разделяет окружность на две равные дуги.

3. Длина окружности:

   $C=2\pi r,C\; =\; 2\backslash pi\; r,$

   где $rr$ — радиус окружности.

4. Площадь круга (область внутри окружности):

   $S=\pi r^2\mathrm{.}S\; =\; \backslash pi\; r^2.$

5. Угол, вписанный в полукруг:

   • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

6. Касательная и радиус:

   • Радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Примеры

Пример 1: Нахождение длины окружности

Радиус окружности равен $55$ см. Найдите её длину.

Решение:

Ответ: $C=10\pi C\; =\; 10\backslash pi$ см.

Пример 2: Уравнение окружности

Найдите уравнение окружности с центром в точке $O(2,-3)O(2,\; -3)$ и радиусом $44$.

Решение: Подставим данные в уравнение окружности:

где $a=2a\; =\; 2$, $b=-3b\; =\; -3$, $r=4r\; =\; 4$:

Ответ: Уравнение окружности: $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=16(x\; -\; 2)^2\; +\; (y\; +\; 3)^2\; =\; 16$.

Пример 3: Радиус через уравнение

Дано уравнение окружности: $x^2+y^2=25x^2\; +\; y^2\; =\; 25$. Найдите радиус.

Решение: Уравнение окружности имеет вид:

Сравнивая, видим, что $r^2=25r^2\; =\; 25$, значит:

Ответ: Радиус равен $55$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину окружности с радиусом $77$ см.
2. Найдите площадь круга, если длина окружности равна $10\pi 10\backslash pi$.
3. Запишите уравнение окружности с центром в точке $(-1,4)(-1,\; 4)$ и радиусом $33$.
4. Радиус окружности равен $1010$ см. Найдите длину дуги, если угол, её стягивающий, равен $60^{\circ }60^\backslash circ$.

Заключение

Окружность — это одна из базовых геометрических фигур, используемая во многих задачах математики и физики. Её свойства, такие как радиус, диаметр, длина и уравнение, позволяют анализировать геометрические формы и проводить расчёты. Понимание окружности помогает решать задачи и углубляет знания о геометрии.