Касательная к окружности

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

• Точка касания — это единственная общая точка касательной и окружности.
• Касательная всегда проходит вне окружности, кроме точки касания.

Свойства касательной

1. Перпендикулярность радиусу:
   Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:

   $OT\perp t,OT\; \backslash perp\; t,$

   где $OO$ — центр окружности, $TT$ — точка касания, $tt$ — касательная.

2. Единственность касательной:
   Через точку на окружности можно провести только одну касательную.

3. Касательные из одной точки равны:
   Если из точки вне окружности проведены две касательные, их длины равны:

   $PA=PB,PA\; =\; PB,$

   где $PP$ — точка вне окружности, $AA$ и $BB$ — точки касания.

4. Угол между касательными:
   Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки, равен половине разности заключённых дуг.

Уравнение касательной

Если окружность задана уравнением:

и точка касания $T(x_1,y_1)T(x\_1,\; y\_1)$ лежит на окружности, то уравнение касательной имеет вид:

Формулы, связанные с касательной

1. Свойство отрезков касательных:
   Если из точки $PP$ вне окружности проведены две касательные $PAPA$ и $PBPB$, то их длины равны:

   $PA=PB\mathrm{.}PA\; =\; PB.$

2. Длина отрезков касательной:
   Если $PP$ — точка вне окружности, а $PTPT$ — касательная, то длина $PTPT$ связана с расстоянием $OPOP$ от центра окружности до точки $PP$ и радиусом $rr$:

   $PT=\sqrt{O{P}^2-r^2}\mathrm{.}PT\; =\; \backslash sqrt\{OP^2\; -\; r^2\}.$

Примеры

Пример 1: Длина касательной

Найдите длину касательной $PTPT$, проведённой из точки $PP$, находящейся на расстоянии $1010$ см от центра окружности радиусом $66$ см.

Решение: Используем формулу длины касательной:

Подставим значения:

Ответ: $PT=8PT\; =\; 8$ см.

Пример 2: Равенство касательных

Из точки $PP$ проведены касательные $PAPA$ и $PBPB$ к окружности. Докажите, что $PA=PBPA\; =\; PB$.

Решение: Согласно свойству, касательные, проведённые из одной точки вне окружности, равны.

Ответ: $PA=PBPA\; =\; PB$.

Пример 3: Уравнение касательной

Дана окружность с уравнением $x^2+y^2=25x^2\; +\; y^2\; =\; 25$ и точка касания $T(3,4)T(3,\; 4)$. Найдите уравнение касательной.

Решение: Используем уравнение касательной:

Подставим значения $x_1=3x\_1\; =\; 3$, $y_1=4y\_1\; =\; 4$, $r^2=25r^2\; =\; 25$:

Ответ: Уравнение касательной: $3x+4y=253x\; +\; 4y\; =\; 25$.

Пример 4: Угол между касательными

Из точки $PP$ проведены две касательные $PAPA$ и $PBPB$. Дуга, заключённая между точками $AA$ и $BB$, равна $120^{\circ }120^\backslash circ$. Найдите угол между касательными.

Решение: Угол между касательными равен половине разности заключённых дуг:

Ответ: Угол между касательными равен $120^{\circ }120^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину касательной, если радиус окружности $r=5r\; =\; 5$ см, а расстояние от центра окружности до точки $PP$ равно $1313$ см.
2. Из точки $PP$ проведены касательные $PAPA$ и $PBPB$. Длина одной из касательных равна $88$ см. Докажите, что вторая касательная имеет ту же длину.
3. Найдите уравнение касательной к окружности $x^2+y^2=16x^2\; +\; y^2\; =\; 16$ в точке $T(2,2)T(2,\; 2)$.

Заключение

Касательная к окружности — это важное геометрическое понятие, которое используется в задачах на вычисление длин, углов и взаимное расположение прямых и окружностей. Знание её свойств и формул позволяет эффективно решать широкий спектр геометрических задач.