Хорда

Определение

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Свойства хорды

1. Хорда лежит внутри окружности:
   Все точки хорды находятся внутри круга, которому принадлежит окружность.

2. Диаметр — самая длинная хорда:
   Диаметр окружности является её хордой, проходящей через центр, и это самая длинная хорда:

   $\text{Длина диаметра }d=2r,\backslash text\{Длина\; диаметра\; \}\; d\; =\; 2r,$

   где $rr$ — радиус окружности.

3. Равные хорды равноудалены от центра:
   Если хорды $ABAB$ и $CDCD$ окружности равны, то их расстояния от центра одинаковы:

   $d_1=d_2,d\_1\; =\; d\_2,$

   где $d_{1}d\_1$ и $d_{2}d\_2$ — расстояния от центра до хорд.

4. Хорда делится пополам радиусом, проведённым перпендикулярно:
   Если радиус окружности перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

5. Хорды, равноудалённые от центра, равны:
   Если расстояния от центра окружности до хорд одинаковы, то хорды равны:

   $AB=CD\mathrm{.}AB\; =\; CD.$

Формулы, связанные с хордой

1. Длина хорды через радиус и центральный угол: Для хорды $ABAB$, опирающейся на центральный угол $\alpha \backslash alpha$, длина $LL$ выражается как:

   $L=2r\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right),L\; =\; 2r\; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash right),$

   где $rr$ — радиус окружности, $\alpha \backslash alpha$ — центральный угол в радианах или градусах.

2. Длина хорды через расстояние от центра до хорды: Если расстояние от центра окружности до хорды равно $dd$, а радиус окружности $rr$, то длина хорды $LL$ равна:

   $L=2\sqrt{r^2-d^2}\mathrm{.}L\; =\; 2\backslash sqrt\{r^2\; -\; d^2\}.$

Примеры

Пример 1: Длина хорды через центральный угол

Найдите длину хорды окружности радиуса $r=10r\; =\; 10$ см, если центральный угол $\alpha =60^{\circ }\backslash alpha\; =\; 60^\backslash circ$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $L=10L\; =\; 10$ см.

Пример 2: Длина хорды через расстояние от центра

Найдите длину хорды, если радиус окружности $r=13r\; =\; 13$ см, а расстояние от центра до хорды $d=5d\; =\; 5$ см.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $L=24L\; =\; 24$ см.

Пример 3: Проверка равенства хорд

Даны две хорды $ABAB$ и $CDCD$ в окружности с радиусом $1010$ см. Расстояния от центра до хорд равны и составляют $66$ см. Докажите, что хорды равны.

Решение: Согласно свойству хорд, равноудалённых от центра, они равны:

Ответ: $AB=CDAB\; =\; CD$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину хорды, если радиус окружности $r=8r\; =\; 8$ см, а центральный угол $\alpha =90^{\circ }\backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ$.
2. Хорда находится на расстоянии $33$ см от центра окружности радиуса $55$ см. Найдите длину хорды.
3. Докажите, что если радиус перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

Заключение

Хорда — это ключевой элемент окружности, который часто встречается в геометрических задачах. Понимание её свойств и использование формул позволяет решать задачи, связанные с длинами, расстояниями и углами в окружности.