Свойства правильных многоугольников

Правильным многоугольником - называется многоугольник, у которого все стороны равны и все углы одинаковы. Эти фигуры играют важную роль в геометрии и имеют ряд полезных свойств, которые упрощают решение различных задач.

Основные свойства правильных многоугольников

1. Равные стороны: Все стороны правильного многоугольника равны между собой. Если длина стороны равна $aa$, то все стороны многоугольника также будут иметь длину $aa$.

2. Равные углы: Все углы правильного многоугольника равны между собой. Для многоугольника с $nn$ сторонами углы между соседними сторонами вычисляются по формуле:

   $\alpha =\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}\mathrm{.}\backslash alpha\; =\; \backslash frac\{(n-2)\; \backslash cdot\; 180^\backslash circ\}\{n\}.$

   Где $nn$ — количество сторон многоугольника, а $\alpha \backslash alpha$ — угол между соседними сторонами.

3. Симметрия: Правильные многоугольники обладают осевой симметрией. Количество осей симметрии равно числу сторон многоугольника. Например, у правильного шестиугольника 6 осей симметрии.

4. Центр и окружность: Правильные многоугольники всегда вписаны в окружность. Центр этой окружности совпадает с центром многоугольника, и радиус окружности называется радиусом описанной окружности.

5. Равные центральные углы: Углы, образующиеся между радиусами, которые соединяют центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника, также равны между собой. Каждый такой угол равен:

   $\theta =\frac{360^{\circ }}{n},\backslash theta\; =\; \backslash frac\{360^\backslash circ\}\{n\},$

   где $nn$ — количество сторон многоугольника.

Формулы для правильных многоугольников

Площадь правильного многоугольника

Площадь правильного многоугольника можно вычислить с использованием длины стороны $aa$ и количества сторон $nn$. Формула для площади выглядит следующим образом:

где $nn$ — количество сторон, $aa$ — длина стороны многоугольника.

Радиус вписанной окружности

Для правильного многоугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

где $aa$ — длина стороны многоугольника, $nn$ — количество сторон.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности (окружности, проходящей через все вершины многоугольника) можно вычислить по формуле:

где $aa$ — длина стороны многоугольника, $nn$ — количество сторон.

Свойства правильных многоугольников в зависимости от количества сторон

1. Правильный треугольник (равносторонний треугольник):

   • Все стороны равны.
   • Все углы равны $60^{\circ }60^\backslash circ$.
   • Центр совпадает с центром описанной окружности.

2. Правильный квадрат:

   • Все стороны равны.
   • Все углы равны $90^{\circ }90^\backslash circ$.
   • Площадь квадрата: $A=a^{2}A\; =\; a^2$.
   • Радиус описанной окружности: $R=\frac{a}{\sqrt{2}}R\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$.

3. Правильный многоугольник с более чем четырьмя сторонами:

   • Все углы между соседними сторонами одинаковы.
   • Внешний угол равен: $180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}180^\backslash circ\; -\; \backslash frac\{360^\backslash circ\}\{n\}$.
   • Площадь и радиусы вычисляются по вышеуказанным формулам.

Заключение

Правильные многоугольники имеют уникальные геометрические свойства, которые делают их важными объектами исследования в геометрии. Их симметрия и соотношения между сторонами и углами делают их удобными для использования в различных приложениях, включая архитектуру, искусство и инженерное проектирование.