Дуга окружности
Дуга окружности — это часть окружности, заключённая между двумя её точками. Дуга определяется двумя крайними точками и может быть измерена в градусах, радианах или длиной.
Обозначение
- Дуга окружности обозначается как , где и — крайние точки дуги.
- Если окружность делится на две дуги, то:
- Меньшая дуга называется минорной.
- Большая дуга называется мажорной.
Свойства дуги окружности
-
Дуга определяется центральным углом:
Дуга окружности, заключённая между точками и , определяется центральным углом , опирающимся на эту дугу.
-
Полная окружность:
Полная окружность равна или радиан.
-
Дуга, опирающаяся на диаметр:
Если дуга окружности опирается на диаметр, её длина равна половине длины окружности, а угол составляет или радиан.
-
Сумма дуг:
Сумма двух дуг, образованных при делении окружности, равна длине окружности:
Формулы, связанные с дугой
-
Длина дуги:
Длина дуги рассчитывается через радиус окружности и центральный угол (в градусах или радианах):
- В градусах:
- В радианах:
-
Длина полной окружности:
Полная окружность:
где — радиус окружности.
-
Площадь сектора:
Площадь сектора круга, соответствующего дуге, равна:
- В градусах:
- В радианах:
Примеры
Пример 1: Длина дуги
Найдите длину дуги, если радиус окружности см, а центральный угол .
Решение:
Используем формулу длины дуги:
Подставим значения:
Ответ: см.
Пример 2: Площадь сектора
Найдите площадь сектора круга, соответствующего дуге с центральным углом , если радиус окружности см.
Решение:
Используем формулу площади сектора:
Подставим значения:
Ответ: .
Пример 3: Дуга через радианы
Найдите длину дуги, если радиус см, а центральный угол радиан.
Решение:
Используем формулу длины дуги в радианах:
Подставим значения:
Ответ: см.
Задачи для закрепления
- Найдите длину дуги окружности с радиусом см, если центральный угол равен .
- Вычислите площадь сектора круга радиуса см, соответствующего дуге с центральным углом .
- Докажите, что дуга, опирающаяся на диаметр, равна половине длины окружности.
Заключение
Дуга окружности — это важное понятие в геометрии, связанное с измерением длины и площади частей круга. Знание формул и свойств дуги позволяет эффективно решать задачи, связанные с окружностями и их элементами.