Дуга окружности

Дуга окружности — это часть окружности, заключённая между двумя её точками. Дуга определяется двумя крайними точками и может быть измерена в градусах, радианах или длиной.


Обозначение

  1. Дуга окружности обозначается как \overset{\frown}{AB}, где AA и BB — крайние точки дуги.
  2. Если окружность делится на две дуги, то:
    • Меньшая дуга называется минорной.
    • Большая дуга называется мажорной.

Свойства дуги окружности

  1. Дуга определяется центральным углом:
    Дуга окружности, заключённая между точками AA и BB, определяется центральным углом α\alpha, опирающимся на эту дугу.

  2. Полная окружность:
    Полная окружность равна 360360^\circ или 2π2\pi радиан.

  3. Дуга, опирающаяся на диаметр:
    Если дуга окружности опирается на диаметр, её длина равна половине длины окружности, а угол составляет 180180^\circ или π\pi радиан.

  4. Сумма дуг:
    Сумма двух дуг, образованных при делении окружности, равна длине окружности:

    m+m=360.\text{m}\overset{\frown}{AB} + \text{m}\overset{\frown}{BA} = 360^\circ.

Формулы, связанные с дугой

  1. Длина дуги:
    Длина дуги LL рассчитывается через радиус окружности rr и центральный угол α\alpha (в градусах или радианах):

    • В градусах:L=2πrα360.L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.
    • В радианах:L=rα.L = r \cdot \alpha.
  2. Длина полной окружности:
    Полная окружность:

    C=2πr,C = 2\pi r,

    где rr — радиус окружности.

  3. Площадь сектора:
    Площадь сектора круга, соответствующего дуге, равна:

    • В градусах:S=πr2α360.S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.
    • В радианах:S=12r2α.S = \frac{1}{2} r^2 \alpha.

Примеры

Пример 1: Длина дуги

Найдите длину дуги, если радиус окружности r=5r = 5 см, а центральный угол α=90\alpha = 90^\circ.

Решение: Используем формулу длины дуги:

L=2πrα360.L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.

Подставим значения:

L=2π590360=10π14=2.5πсм.L = 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} = 10\pi \cdot \frac{1}{4} = 2.5\pi \, \text{см}.

Ответ: L=2.5πL = 2.5\pi см.


Пример 2: Площадь сектора

Найдите площадь сектора круга, соответствующего дуге с центральным углом α=60\alpha = 60^\circ, если радиус окружности r=10r = 10 см.

Решение: Используем формулу площади сектора:

S=πr2α360.S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.

Подставим значения:

S=π10260360=π10016=100π6=50π3см2.S = \pi \cdot 10^2 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = \pi \cdot 100 \cdot \frac{1}{6} = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3} \, \text{см}^2.

Ответ: S=50π3см2S = \frac{50\pi}{3} \, \text{см}^2.


Пример 3: Дуга через радианы

Найдите длину дуги, если радиус r=7r = 7 см, а центральный угол α=π3\alpha = \frac{\pi}{3} радиан.

Решение: Используем формулу длины дуги в радианах:

L=rα.L = r \cdot \alpha.

Подставим значения:

L=7π3=7π3см.L = 7 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \, \text{см}.

Ответ: L=7π3L = \frac{7\pi}{3} см.


Задачи для закрепления

  1. Найдите длину дуги окружности с радиусом r=8r = 8 см, если центральный угол равен 120120^\circ.
  2. Вычислите площадь сектора круга радиуса 66 см, соответствующего дуге с центральным углом 4545^\circ.
  3. Докажите, что дуга, опирающаяся на диаметр, равна половине длины окружности.

Заключение

Дуга окружности — это важное понятие в геометрии, связанное с измерением длины и площади частей круга. Знание формул и свойств дуги позволяет эффективно решать задачи, связанные с окружностями и их элементами.