Радиус окружности

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

• Обозначается буквой $rr$.
• Все радиусы одной и той же окружности равны.

Элементы окружности, связанные с радиусом

1. Центр окружности ($OO$):
   Точка, от которой равноудалены все точки окружности.

2. Диаметр ($dd$):
   Диаметр равен удвоенному радиусу:

   $d=2r\mathrm{.}d\; =\; 2r.$

3. Хорда:
   Отрезок, соединяющий две точки окружности. Радиус — это частный случай хорды, когда одна из её точек совпадает с центром.

Формулы, связанные с радиусом

1. Длина окружности:

   $C=2\pi r,C\; =\; 2\backslash pi\; r,$

   где $rr$ — радиус окружности.

2. Площадь круга:

   $S=\pi r^2,S\; =\; \backslash pi\; r^2,$

   где $rr$ — радиус окружности.

3. Длина дуги: Для центрального угла $\alpha \backslash alpha$ (в градусах), длина дуги вычисляется по формуле:

   $L=2\pi r\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }}\mathrm{.}L\; =\; 2\backslash pi\; r\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{360^\backslash circ\}.$

4. Площадь сектора: Площадь сектора круга, соответствующего углу $\alpha \backslash alpha$, равна:

   $S_{\text{сектора}}=\pi r^2\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ }}\mathrm{.}S\_\backslash text\{сектора\}\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{360^\backslash circ\}.$

Свойства радиуса

1. Все радиусы окружности равны:
   Это определяющее свойство окружности, так как все точки окружности равноудалены от центра.

2. Перпендикулярность радиуса к касательной:
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

   $r\perp t,r\; \backslash perp\; t,$

   где $tt$ — касательная, а $rr$ — радиус.

3. Отношение радиуса к диаметру:
   Радиус составляет половину диаметра:

   $r=\frac{d}{2}\mathrm{.}r\; =\; \backslash frac\{d\}\{2\}.$

4. Радиус и хорда:
   Если радиус окружности перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду пополам.

Примеры

Пример 1: Нахождение длины окружности

Найдите длину окружности, если радиус $r=7r\; =\; 7$ см.

Решение: Используем формулу:

Ответ: $C=14\pi C\; =\; 14\backslash pi$ см.

Пример 2: Площадь круга

Найдите площадь круга с радиусом $r=5r\; =\; 5$ см.

Решение: Используем формулу:

Ответ: $S=25\pi {\text{см}}^{2}S\; =\; 25\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 3: Радиус через длину окружности

Длина окружности равна $C=18\pi C\; =\; 18\backslash pi$ см. Найдите радиус.

Решение: Используем формулу:

Подставим $C=18\pi C\; =\; 18\backslash pi$:

Ответ: $r=9r\; =\; 9$ см.

Пример 4: Длина дуги

Найдите длину дуги окружности радиуса $r=6r\; =\; 6$ см, если центральный угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $L=3\pi L\; =\; 3\backslash pi$ см.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину окружности, если её радиус равен $1010$ см.
2. Вычислите площадь круга с радиусом $77$ см.
3. Найдите радиус окружности, если её длина равна $50\pi 50\backslash pi$ см.
4. Вычислите площадь сектора, если радиус окружности $r=12r\; =\; 12$ см, а центральный угол равен $120^{\circ }120^\backslash circ$.

Заключение

Радиус — это ключевая характеристика окружности, от которой зависят её длина, площадь, а также другие связанные величины. Понимание свойств радиуса позволяет решать широкий круг задач, связанных с геометрией окружности и круга.