Секущая

Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Свойства секущей

1. Две точки пересечения:
   Секущая всегда пересекает окружность в двух различных точках.

2. Отношение длин отрезков секущей:
   Если из одной точки вне окружности проведены две секущие, то произведения длин их отрезков равны.
   Пусть секущие $AA$ и $BB$ пересекают окружность в точках $CC$, $DD$ и $EE$, $FF$ соответственно. Тогда:

   $AC\cdot AD=AE\cdot AF\mathrm{.}AC\; \backslash cdot\; AD\; =\; AE\; \backslash cdot\; AF.$

3. Связь с хордой:
   Если секущая проходит через центр окружности, она становится диаметром, а её пересечения с окружностью образуют хорды.

Формулы, связанные с секущей

1. Произведение длин отрезков секущей:
   Если точка $PP$ лежит вне окружности, а секущая пересекает окружность в точках $AA$ и $BB$, то:

   $PA\cdot PB=k,PA\; \backslash cdot\; PB\; =\; k,$

   где $PAPA$ и $PBPB$ — длины отрезков секущей.

2. Угол между секущими:
   Если из одной точки вне окружности проведены две секущие, угол между ними равен:

   $\mathrm{\angle }=\frac{1}{2}\left(\text{разность дуг, заключённых между секущими}\right)\mathrm{.}\backslash angle\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash text\{разность\; дуг,\; заключённых\; между\; секущими\}\; \backslash right).$

Взаимное расположение секущей и окружности

1. Одна общая точка:
   Если секущая касается окружности, она становится касательной.

2. Две общие точки:
   Секущая пересекает окружность в двух точках.

3. Нет общих точек:
   Прямая не пересекает окружность и называется внешней.

Примеры

Пример 1: Длина отрезков секущей

Из точки $PP$, находящейся вне окружности, проведены секущие, пересекающие окружность в точках $AA$, $BB$ и $CC$, $DD$. Если $PA=4PA\; =\; 4$, $PB=6PB\; =\; 6$, $PC=3PC\; =\; 3$, найдите $PDPD$.

Решение: Согласно свойству секущих:

Подставим значения:

Ответ: $PD=8PD\; =\; 8$.

Пример 2: Угол между секущими

Из точки вне окружности проведены две секущие, пересекающие окружность, образуя дуги $120^{\circ }120^\backslash circ$ и $40^{\circ }40^\backslash circ$. Найдите угол между секущими.

Решение: Угол между секущими равен половине разности заключённых дуг:

Ответ: Угол между секущими равен $40^{\circ }40^\backslash circ$.

Пример 3: Секущая и касательная

Из точки $PP$ вне окружности проведены секущая $PAPA$ и касательная $PTPT$. Если $PA=12PA\; =\; 12$, $PB=4PB\; =\; 4$, найдите длину $PTPT$.

Решение: Согласно свойству:

Подставим значения:

Ответ: $PT=4\sqrt{3}PT\; =\; 4\backslash sqrt\{3\}$.

Задачи для закрепления

1. Из точки вне окружности проведены две секущие. Отрезки первой секущей равны $55$ и $77$, второй — $33$ и $xx$. Найдите $xx$.
2. Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки вне окружности, равен $30^{\circ }30^\backslash circ$. Найдите разность дуг, заключённых между ними.
3. Докажите, что произведения длин отрезков секущей, проведённой из одной точки, равны.

Заключение

Секущая — это важный элемент окружности, изучение свойств которой позволяет решать задачи, связанные с длинами отрезков, углами и взаимным расположением точек. Знание формул и свойств секущей значительно упрощает геометрические вычисления и доказательства.