Круг

Круг — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек на плоскости, которые находятся на расстоянии, меньшем или равном заданному радиусу $rr$ от центра.

• Окружность — это граница круга, состоящая из всех точек, находящихся на расстоянии, равном радиусу.
• Круг включает окружность и все точки внутри неё.

Элементы круга

1. Центр круга:
   Точка, относительно которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии.

2. Радиус:
   Расстояние от центра до любой точки окружности. Обозначается $rr$.

3. Диаметр:
   Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр.
   Связь между радиусом и диаметром:

   $d=2r\mathrm{.}d\; =\; 2r.$

4. Хорда:
   Отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр является наибольшей хордой.

5. Сектор круга:
   Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

6. Сегмент круга:
   Часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности.

Свойства круга

1. Круг симметричен относительно своего центра.
2. Радиусы, проведённые к любой точке окружности, равны.
3. Диаметр делит круг на две равные части (полукруга).
4. Длина окружности и площадь круга зависят от радиуса.

Формулы для круга

1. Длина окружности

Длина окружности рассчитывается по формуле:

где $rr$ — радиус круга.

2. Площадь круга

Площадь круга вычисляется как:

где $rr$ — радиус круга.

3. Площадь сектора круга

Площадь сектора круга, ограниченного центральным углом $\alpha \backslash alpha$ (в градусах), равна:

4. Длина дуги окружности

Длина дуги окружности, соответствующей углу $\alpha \backslash alpha$ (в градусах), равна:

Примеры

Пример 1: Найдите длину окружности

Радиус круга равен $r=7r\; =\; 7$ см. Найдите длину окружности.

Решение: Используем формулу:

Подставим значение $r=7r\; =\; 7$:

Ответ: $C=14\pi \text{см}C\; =\; 14\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Пример 2: Найдите площадь круга

Радиус круга равен $r=5r\; =\; 5$ см. Найдите площадь круга.

Решение: Используем формулу:

Подставим значение $r=5r\; =\; 5$:

Ответ: $S=25\pi {\text{см}}^{2}S\; =\; 25\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Пример 3: Найдите длину дуги

Длина дуги окружности соответствует центральному углу $\alpha =90^{\circ }\backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ$. Радиус круга $r=4r\; =\; 4$ см. Найдите длину дуги.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $L_{\text{дуги}}=2\pi \text{см}L\_\backslash text\{дуги\}\; =\; 2\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}$.

Пример 4: Найдите площадь сектора

Площадь сектора круга соответствует центральному углу $\alpha =120^{\circ }\backslash alpha\; =\; 120^\backslash circ$. Радиус круга $r=6r\; =\; 6$ см. Найдите площадь сектора.

Решение: Используем формулу:

Подставим значения:

Ответ: $S_{\text{сектор}}=12\pi {\text{см}}^{2}S\_\backslash text\{сектор\}\; =\; 12\backslash pi\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}^2$.

Задачи для закрепления

1. Найдите длину окружности, если радиус равен $r=10r\; =\; 10$ см.
2. Вычислите площадь круга с радиусом $r=8r\; =\; 8$ см.
3. Радиус круга равен $r=12r\; =\; 12$ см. Найдите длину дуги, соответствующую центральному углу $60^{\circ }60^\backslash circ$.
4. Найдите площадь сектора круга, если радиус $r=5r\; =\; 5$ см, а угол $\alpha =45^{\circ }\backslash alpha\; =\; 45^\backslash circ$.

Заключение

Круг — это фундаментальная фигура в геометрии, обладающая простыми и универсальными формулами для вычисления длины окружности, площади и связанных с ними характеристик. Знание этих формул помогает решать множество задач в математике и практических приложениях.