Смежные углы

Смежные углы — это два угла, у которых: одна сторона общая и две другие стороны дополняют друг друга до прямой.

Пример: Если лучи $OAOA$ и $OBOB$ лежат на одной прямой, а луч $OCOC$ находится между ними, то углы $\mathrm{\angle }AOC\backslash angle\; AOC$ и $\mathrm{\angle }COB\backslash angle\; COB$ являются смежными.

Свойства смежных углов

1. Сумма смежных углов равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:

   $\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }COB=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; AOC\; +\; \backslash angle\; COB\; =\; 180^\backslash circ.$

2. Если один из смежных углов прямой ($90^{\circ }90^\backslash circ$), то другой угол тоже прямой ($90^{\circ }90^\backslash circ$).

3. Смежные углы могут быть острыми, тупыми или прямыми, но их сумма всегда равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

4. Если смежные углы равны, то каждый из них составляет $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Формулы, связанные со смежными углами

1. Если один из углов известен, то другой угол можно найти как:

   $\beta =180^{\circ }-\alpha ,\backslash beta\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash alpha,$

   где $\alpha \backslash alpha$ — известный угол, $\beta \backslash beta$ — смежный угол.

2. Для двух смежных углов выполняется:

   $\alpha +\beta =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; =\; 180^\backslash circ.$

Примеры

Пример 1: Найдите смежный угол

Дан угол $\alpha =70^{\circ }\backslash alpha\; =\; 70^\backslash circ$. Найдите смежный угол $\beta \backslash beta$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значение $\alpha =70^{\circ }\backslash alpha\; =\; 70^\backslash circ$:

Ответ: $\beta =110^{\circ }\backslash beta\; =\; 110^\backslash circ$.

Пример 2: Смежные углы равны

Докажите, что если смежные углы равны, то каждый из них прямой ($90^{\circ }90^\backslash circ$).

Доказательство:

1. Пусть $\alpha \backslash alpha$ и $\beta \backslash beta$ — смежные углы, причём $\alpha =\beta \backslash alpha\; =\; \backslash beta$.
2. По свойству смежных углов:$\alpha +\beta =180^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; =\; 180^\backslash circ.$
3. Подставим $\alpha =\beta \backslash alpha\; =\; \backslash beta$:$\alpha +\alpha =180^{\circ }\Rightarrow 2\alpha =180^{\circ }\Rightarrow \alpha =90^{\circ }\mathrm{.}\backslash alpha\; +\; \backslash alpha\; =\; 180^\backslash circ\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; 2\backslash alpha\; =\; 180^\backslash circ\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; 90^\backslash circ.$
4. Следовательно, оба угла равны $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Вывод: Если смежные углы равны, то они оба прямые.

Пример 3: Найдите смежные углы

Дан угол $\alpha =120^{\circ }\backslash alpha\; =\; 120^\backslash circ$. Найдите смежный угол $\beta \backslash beta$.

Решение: Используем формулу:

Подставим значение $\alpha =120^{\circ }\backslash alpha\; =\; 120^\backslash circ$:

Ответ: $\beta =60^{\circ }\backslash beta\; =\; 60^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Найдите смежный угол к углу $75^{\circ }75^\backslash circ$.
2. Докажите, что сумма смежных углов всегда равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.
3. Если смежные углы равны, найдите их величины.

Заключение

Смежные углы — это важное понятие в геометрии, используемое для анализа взаимного расположения углов и прямых. Знание их свойств и формул помогает эффективно решать задачи на вычисление и доказательства.