Градусы

Градус — это единица измерения углов, которая равна $1\mathrm{/}3601/360$ части полного угла. Полный оборот вокруг точки равен $360^{\circ }360^\backslash circ$.

Основные свойства градусов

1. Полный угол равен $360^{\circ }360^\backslash circ$.
2. Прямой угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.
3. Развёрнутый угол равен $180^{\circ }180^\backslash circ$.
4. Градус делится на более мелкие единицы:
   • Минута ($1^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}60^{\circ }1\text{'}\; =\; 1/60^\backslash circ$),
   • Секунда ($1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}60^{\mathrm{\prime }}1\text{'}\text{'}\; =\; 1/60\text{'}$ или $1\mathrm{/}3600^{\circ }1/3600^\backslash circ$).

Перевод в минуты и секунды

1. Чтобы перевести дробное значение угла в минуты и секунды, используйте соотношения:
   • Дробная часть градуса умножается на $6060$, чтобы найти минуты.
   • Дробная часть минуты умножается на $6060$, чтобы найти секунды.

Пример:

Найдём минуты:

Найдём секунды:

Ответ: $25^{\circ }30^{\mathrm{\prime }}15^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}25^\backslash circ\; 30\text{'}\; 15\text{'}\text{'}$.

Связь с другими единицами

1. Радианы:
   Один градус равен $\frac{\pi }{180}\backslash frac\{\backslash pi\}\{180\}$ радиан:

   $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{рад}\mathrm{.}1^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{180\}\; \backslash ,\; \backslash text\{рад\}.$

2. Грады:
   Один градус равен $9\mathrm{/}109/10$ града:

   $1^{\circ }={\frac{10}{9}}^{\text{град}}\mathrm{.}1^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{10\}\{9\}^\backslash text\{град\}.$

3. Обороты:
   Один градус равен $1\mathrm{/}3601/360$ оборота:

   $1^{\circ }=\frac{1}{360}\text{об}\mathrm{.}1^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{1\}\{360\}\; \backslash ,\; \backslash text\{об\}.$

Основные углы в градусах

1. $0^{\circ }0^\backslash circ$ — нулевой угол.
2. $90^{\circ }90^\backslash circ$ — прямой угол.
3. $180^{\circ }180^\backslash circ$ — развёрнутый угол.
4. $360^{\circ }360^\backslash circ$ — полный угол.

Примеры

Пример 1: Перевод градусов в минуты и секунды

Переведите $45.75^{\circ }45.75^\backslash circ$ в градусы, минуты и секунды.

Решение:

1. Разделим на целую и дробную часть:$45.75^{\circ }=45^{\circ }+0.75^{\circ }\mathrm{.}45.75^\backslash circ\; =\; 45^\backslash circ\; +\; 0.75^\backslash circ.$
2. Переведём $0.75^{\circ }0.75^\backslash circ$ в минуты:$0.75\cdot 60=45^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}0.75\; \backslash cdot\; 60\; =\; 45\text{'}.$

Ответ: $45^{\circ }45^{\mathrm{\prime }}45^\backslash circ\; 45\text{'}$.

Пример 2: Перевод минут и секунд в градусы

Переведите $15^{\circ }20^{\mathrm{\prime }}30^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}15^\backslash circ\; 20\text{'}\; 30\text{'}\text{'}$ в десятичные градусы.

Решение:

1. Переведём минуты в градусы:$20^{\mathrm{\prime }}={\frac{20}{60}}^{\circ }=0.3333^{\circ }\mathrm{.}20\text{'}\; =\; \backslash frac\{20\}\{60\}^\backslash circ\; =\; 0.3333^\backslash circ.$
2. Переведём секунды в градусы:$30^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\frac{30}{3600}}^{\circ }=0.0083^{\circ }\mathrm{.}30\text{'}\text{'}\; =\; \backslash frac\{30\}\{3600\}^\backslash circ\; =\; 0.0083^\backslash circ.$
3. Сложим:$15^{\circ }+0.3333^{\circ }+0.0083^{\circ }=15.3416^{\circ }\mathrm{.}15^\backslash circ\; +\; 0.3333^\backslash circ\; +\; 0.0083^\backslash circ\; =\; 15.3416^\backslash circ.$

Ответ: $15.3416^{\circ }15.3416^\backslash circ$.

Пример 3: Перевод градусов в радианы

Переведите $90^{\circ }90^\backslash circ$ в радианы.

Решение: Используем формулу:

Подставим:

Ответ: $\frac{\pi }{2}\text{рад}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash ,\; \backslash text\{рад\}$.

Задачи для закрепления

1. Переведите $30^{\circ }30^\backslash circ$ в радианы.
2. Найдите значение угла $120^{\circ }120^\backslash circ$ в градах.
3. Переведите $25^{\circ }40^{\mathrm{\prime }}20^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}25^\backslash circ\; 40\text{'}\; 20\text{'}\text{'}$ в десятичные градусы.
4. Переведите $0.875^{\circ }0.875^\backslash circ$ в минуты и секунды.

Заключение

Градусы — это наиболее привычная и широко используемая единица измерения углов. Знание методов перевода между градусами, минутами, секундами и другими единицами измерения позволяет эффективно решать задачи в геометрии и тригонометрии.