Виды углов

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

• Стороны угла — это лучи.

• Вершина угла — общая начальная точка двух лучей.

Единицы измерения углов

1. Градусы:
   Полный угол равен $360^{\circ }360^\backslash circ$.
   1 градус делится на 60 минут, а 1 минута — на 60 секунд.

2. Радианы:
   Полный угол равен $2\pi 2\backslash pi$ радиан.
   Связь радиан и градусов:

   $1\text{радиан}=\frac{180^{\circ }}{\pi }\mathrm{.}1\; \backslash ,\; \backslash text\{радиан\}\; =\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{\backslash pi\}.$

Классификация углов

1. По величине угла:

1. Нулевой угол:
   Угол, равный $0^{\circ }0^\backslash circ$.

2. Острый угол:
   Угол, величина которого меньше $90^{\circ }90^\backslash circ$:

3. Прямой угол:
   Угол, равный $90^{\circ }90^\backslash circ$.
   Обозначается $\perp \backslash perp$.

4. Тупой угол:
   Угол, величина которого больше $90^{\circ }90^\backslash circ$, но меньше $180^{\circ }180^\backslash circ$:

5. Развёрнутый угол:
   Угол, равный $180^{\circ }180^\backslash circ$.
   Его стороны образуют прямую линию.

6. Больше развёрнутого (вогнутый угол):
   Угол, величина которого больше $180^{\circ }180^\backslash circ$, но меньше $360^{\circ }360^\backslash circ$:

7. Полный угол:
   Угол, равный $360^{\circ }360^\backslash circ$.

2. По положению углов

1. Смежные углы - два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны дополняют друг друга до прямой.
   Свойство: сумма смежных углов равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

2. Вертикальные углы - углы, образованные при пересечении двух прямых, стороны которых являются продолжениями друг друга.
   Свойство: вертикальные углы равны.

3. Соответственные углы - углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.
   Свойство: соответствующие углы равны.

4. Односторонние углы:
   Углы, лежащие на одной стороне от секущей.
   Свойство: сумма односторонних углов равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.

Свойства углов

1. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.
2. Прямой угол равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.
3. Развёрнутый угол равен $180^{\circ }180^\backslash circ$.
4. Сумма вертикальных углов равна сумме двух смежных углов.

Примеры

Пример 1: Найдите величину смежного угла

Если угол $\alpha =70^{\circ }\backslash alpha\; =\; 70^\backslash circ$, найдите величину смежного угла.

Решение: Сумма смежных углов равна $180^{\circ }180^\backslash circ$:

Подставим значение:

Ответ: $\beta =110^{\circ }\backslash beta\; =\; 110^\backslash circ$.

Пример 2: Найдите величину вертикального угла

Дан угол $\alpha =50^{\circ }\backslash alpha\; =\; 50^\backslash circ$. Найдите величину вертикального угла.

Решение: Вертикальные углы равны:

Ответ: $\beta =50^{\circ }\backslash beta\; =\; 50^\backslash circ$.

Пример 3: Углы между параллельными прямыми

Даны параллельные прямые $a\parallel ba\; \backslash parallel\; b$ и секущая $cc$. Угол между $aa$ и $cc$ равен $60^{\circ }60^\backslash circ$. Найдите соответствующий угол.

Решение: Соответственные углы равны:

Ответ: $\beta =60^{\circ }\backslash beta\; =\; 60^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Найдите величину тупого угла, если его смежный угол равен $40^{\circ }40^\backslash circ$.
2. Докажите, что вертикальные углы равны.
3. Определите величину односторонних углов, если один из них равен $110^{\circ }110^\backslash circ$.

Заключение

Понимание видов углов и их свойств является основой для решения задач в геометрии. Классификация углов помогает анализировать взаимное расположение прямых, углов и фигур.