Соответственные углы

Соответственные углы — это углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых ($aa$ и $bb$) третьей прямой (секущей).

• Они лежат по одну сторону от секущей и в разных плоскостях (один угол выше секущей, другой ниже).

Расположение соответствующих углов

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов:

• 4 угла выше секущей.
• 4 угла ниже секущей.

Соответствующие углы — это пары углов:

1. Углы, лежащие в верхней и нижней частях секущей, по одну сторону от неё.
2. Например, если углы обозначены как $\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4\backslash angle\; 1,\; \backslash angle\; 2,\; \backslash angle\; 3,\; \backslash angle\; 4$ (верхние) и $\mathrm{\angle }5,\mathrm{\angle }6,\mathrm{\angle }7,\mathrm{\angle }8\backslash angle\; 5,\; \backslash angle\; 6,\; \backslash angle\; 7,\; \backslash angle\; 8$ (нижние), то соответствующие углы:$\mathrm{\angle }1\text{и}\mathrm{\angle }5,\mathrm{\angle }2\text{и}\mathrm{\angle }6,\mathrm{\angle }3\text{и}\mathrm{\angle }7,\mathrm{\angle }4\text{и}\mathrm{\angle }8.\backslash angle\; 1\; \backslash ,\; \backslash text\{и\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; 5,\; \backslash quad\; \backslash angle\; 2\; \backslash ,\; \backslash text\{и\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; 6,\; \backslash quad\; \backslash angle\; 3\; \backslash ,\; \backslash text\{и\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; 7,\; \backslash quad\; \backslash angle\; 4\; \backslash ,\; \backslash text\{и\}\; \backslash ,\; \backslash angle\; 8.$

Свойства соответствующих углов

1. Равенство:
   Если прямые параллельны, то соответствующие углы равны:

   $\mathrm{\angle }1=\mathrm{\angle }5,\mathrm{\angle }2=\mathrm{\angle }6,\mathrm{\angle }3=\mathrm{\angle }7,\mathrm{\angle }4=\mathrm{\angle }8.\backslash angle\; 1\; =\; \backslash angle\; 5,\; \backslash quad\; \backslash angle\; 2\; =\; \backslash angle\; 6,\; \backslash quad\; \backslash angle\; 3\; =\; \backslash angle\; 7,\; \backslash quad\; \backslash angle\; 4\; =\; \backslash angle\; 8.$

2. Признак параллельности прямых:
   Если два угла, образованных секущей, равны, то пересекаемые прямые параллельны.

3. Дополнительность:
   Если углы не равны, то пересекаемые прямые не параллельны.

Формулы и вычисления

1. Если $\mathrm{\angle }1=\alpha \backslash angle\; 1\; =\; \backslash alpha$, то соответствующий угол $\mathrm{\angle }5\backslash angle\; 5$ тоже равен $\alpha \backslash alpha$.

2. Если углы даны выражениями (например, $\mathrm{\angle }1=x+20^{\circ }\backslash angle\; 1\; =\; x\; +\; 20^\backslash circ$, $\mathrm{\angle }5=2x-10^{\circ }\backslash angle\; 5\; =\; 2x\; -\; 10^\backslash circ$), их равенство помогает найти $xx$:

   $x+20^{\circ }=2x-10^{\circ }\mathrm{.}x\; +\; 20^\backslash circ\; =\; 2x\; -\; 10^\backslash circ.$

Примеры

Пример 1: Найдите угол

Даны две параллельные прямые и секущая. Угол $\mathrm{\angle }1=60^{\circ }\backslash angle\; 1\; =\; 60^\backslash circ$. Найдите угол $\mathrm{\angle }5\backslash angle\; 5$.

Решение: По свойству соответствующих углов:

Подставим:

Ответ: $\mathrm{\angle }5=60^{\circ }\backslash angle\; 5\; =\; 60^\backslash circ$.

Пример 2: Признак параллельности прямых

Углы, образованные секущей, равны: $\mathrm{\angle }3=70^{\circ }\backslash angle\; 3\; =\; 70^\backslash circ$ и $\mathrm{\angle }7=70^{\circ }\backslash angle\; 7\; =\; 70^\backslash circ$. Докажите, что прямые параллельны.

Решение: Если соответствующие углы равны, то прямые параллельны.

Вывод: Прямые параллельны.

Пример 3: Найдите $xx$

Даны углы $\mathrm{\angle }1=x+10^{\circ }\backslash angle\; 1\; =\; x\; +\; 10^\backslash circ$ и $\mathrm{\angle }5=2x-20^{\circ }\backslash angle\; 5\; =\; 2x\; -\; 20^\backslash circ$. Прямые параллельны. Найдите $xx$.

Решение: Так как прямые параллельны, то:

Подставим значения:

Решим уравнение:

Ответ: $x=30x\; =\; 30$.

Задачи для закрепления

1. Найдите угол $\mathrm{\angle }6\backslash angle\; 6$, если $\mathrm{\angle }2=120^{\circ }\backslash angle\; 2\; =\; 120^\backslash circ$.
2. Доказать, что прямые параллельны, если $\mathrm{\angle }3=\mathrm{\angle }7\backslash angle\; 3\; =\; \backslash angle\; 7$.
3. Даны $\mathrm{\angle }4=2x+15^{\circ }\backslash angle\; 4\; =\; 2x\; +\; 15^\backslash circ$ и $\mathrm{\angle }8=3x-45^{\circ }\backslash angle\; 8\; =\; 3x\; -\; 45^\backslash circ$. Найдите $xx$.

Заключение

Соответственные углы — это важное понятие в геометрии, которое используется для анализа взаимного расположения прямых и решения задач. Знание их свойств помогает доказать параллельность прямых и вычислять величины углов.