Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, образованных при пересечении двух прямых, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Пример: Если две прямые пересекаются в точке $OO$, то углы $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ и $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$ являются вертикальными, как и углы $\mathrm{\angle }AOC\backslash angle\; AOC$ и $\mathrm{\angle }BOD\backslash angle\; BOD$.

Свойства вертикальных углов

1. Равенство вертикальных углов:
   Вертикальные углы равны:

   $\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }COD,\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }BOD\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; \backslash angle\; COD,\; \backslash quad\; \backslash angle\; AOC\; =\; \backslash angle\; BOD.$

2. Смежные углы:
   Каждый вертикальный угол дополняет смежный угол до $180^{\circ }180^\backslash circ$:

   $\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }BOC=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; +\; \backslash angle\; BOC\; =\; 180^\backslash circ.$

3. Углы зависят только от пересечения прямых:
   Положение пересекающихся прямых определяет равенство вертикальных углов, независимо от их направления.

Доказательство равенства вертикальных углов

1. Пусть прямые $ABAB$ и $CDCD$ пересекаются в точке $OO$. Образуются углы: $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$, $\mathrm{\angle }BOC\backslash angle\; BOC$, $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$, $\mathrm{\angle }DOA\backslash angle\; DOA$.
2. Рассмотрим углы $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ и $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$.
3. Углы $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ и $\mathrm{\angle }BOC\backslash angle\; BOC$ — смежные, значит:$\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }BOC=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; +\; \backslash angle\; BOC\; =\; 180^\backslash circ.$
4. Углы $\mathrm{\angle }BOC\backslash angle\; BOC$ и $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$ — смежные, значит:$\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }COD=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; BOC\; +\; \backslash angle\; COD\; =\; 180^\backslash circ.$
5. Из этих уравнений следует:$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }COD\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; \backslash angle\; COD.$

Аналогично доказывается равенство $\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }BOD\backslash angle\; AOC\; =\; \backslash angle\; BOD$.

Примеры

Пример 1: Найдите вертикальный угол

Если $\mathrm{\angle }AOB=75^{\circ }\backslash angle\; AOB\; =\; 75^\backslash circ$, найдите $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$.

Решение:
Согласно свойству вертикальных углов:

Подставим значение:

Ответ: $\mathrm{\angle }COD=75^{\circ }\backslash angle\; COD\; =\; 75^\backslash circ$.

Пример 2: Найдите все углы

Даны пересекающиеся прямые, угол $\mathrm{\angle }AOB=120^{\circ }\backslash angle\; AOB\; =\; 120^\backslash circ$. Найдите все углы.

Решение:

1. Вертикальный угол:

   $\mathrm{\angle }COD=\mathrm{\angle }AOB=120^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; COD\; =\; \backslash angle\; AOB\; =\; 120^\backslash circ.$

2. Смежные углы:

   $\mathrm{\angle }BOC=180^{\circ }-\mathrm{\angle }AOB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; BOC\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash angle\; AOB\; =\; 180^\backslash circ\; -\; 120^\backslash circ\; =\; 60^\backslash circ.$

   Аналогично:

   $\mathrm{\angle }DOA=60^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; DOA\; =\; 60^\backslash circ.$

Ответ:
$\mathrm{\angle }AOB=120^{\circ },\mathrm{\angle }COD=120^{\circ },\mathrm{\angle }BOC=60^{\circ },\mathrm{\angle }DOA=60^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; 120^\backslash circ,\; \backslash quad\; \backslash angle\; COD\; =\; 120^\backslash circ,\; \backslash quad\; \backslash angle\; BOC\; =\; 60^\backslash circ,\; \backslash quad\; \backslash angle\; DOA\; =\; 60^\backslash circ.$

Задачи для закрепления

1. Угол $\mathrm{\angle }AOB=45^{\circ }\backslash angle\; AOB\; =\; 45^\backslash circ$. Найдите все остальные углы.
2. Вертикальный угол равен $80^{\circ }80^\backslash circ$. Найдите смежные углы.
3. Докажите, что сумма двух вертикальных углов равна сумме двух смежных углов.

Заключение

Вертикальные углы — это базовое понятие в геометрии, описывающее свойства углов, возникающих при пересечении двух прямых. Их равенство является важным инструментом для анализа и решения геометрических задач.