Основные

Курсы

Другое

Параллельные и перпендикулярные прямые

Параллельные прямые

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, каким бы образом они ни продолжались.
Обозначение: $a \parallel b$ .

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это прямые, пересекающиеся под углом $90^\circ$ .
Обозначение: $a \perp b$ .

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые не пересекаются.
Любая прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
Углы, образованные пересечением параллельных прямых секущей, обладают следующими свойствами:
- Соответственные углы равны.
- Односторонние углы в сумме дают $180^\circ$ .
- Вертикальные углы равны.

Свойства перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом ( $90^\circ$ ).
Если две прямые перпендикулярны, то все четыре угла, образованные на их пересечении, равны $90^\circ$ .
Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Уравнения прямых

Параллельные прямые

Если прямые заданы уравнениями:

y = k_1x + b_1 \quad \text{и} \quad y = k_2x + b_2,

то прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

k_{1} = k_{2} .

Перпендикулярные прямые

Если прямые заданы уравнениями:

y = k_1x + b_1 \quad \text{и} \quad y = k_2x + b_2,

то прямые перпендикулярны, если выполняется условие:

k_1 \cdot k_2 = -1.

Геометрическая интерпретация

Параллельные прямые:
- Расстояние между параллельными прямыми постоянно.
- Они никогда не пересекаются.
Перпендикулярные прямые:
- Пересекаются под прямым углом.
- Угловой коэффициент одной прямой является отрицательной обратной величиной углового коэффициента другой.

Примеры

Пример 1: Определение параллельности прямых

Даны уравнения прямых: $y = 2 x + 3$ и $y = 2 x - 5$ . Определите, являются ли прямые параллельными.

Решение: Сравним угловые коэффициенты:

k_1 = 2, \quad k_2 = 2.

Так как $k_{1} = k_{2}$ , прямые параллельны.

Ответ: Прямые параллельны.

Пример 2: Определение перпендикулярности прямых

Даны уравнения прямых: $y = -\frac{1}{2}x + 4$ и $y = 2 x - 1$ . Определите, являются ли прямые перпендикулярными.

Решение: Сравним произведение угловых коэффициентов:

k_1 = -\frac{1}{2}, \quad k_2 = 2.

Проверим:

k_1 \cdot k_2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1.

Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: Прямые перпендикулярны.

Пример 3: Найдите расстояние между параллельными прямыми

Даны прямые $y = 2 x + 5$ и $y = 2 x - 3$ . Найдите расстояние между ними.

Решение: Формула расстояния между параллельными прямыми:

d = \frac{|b_1 - b_2|}{\sqrt{1 + k^2}}.

Подставим значения:

k = 2, \quad b_1 = 5, \quad b_2 = -3.

d = \frac{|5 - (-3)|}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}.

Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ .

Задачи для закрепления

Докажите, что прямые $y = 3 x + 2$ и $y = 3 x - 4$ параллельны.
Определите, перпендикулярны ли прямые $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = 3 x - 5$ .
Найдите расстояние между прямыми $y = - x + 4$ и $y = - x - 6$ .
Постройте графики прямых $y = 2 x + 1$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$ . Определите их взаимное расположение.

Заключение

Параллельные и перпендикулярные прямые — это важные геометрические понятия, используемые для анализа взаимного расположения прямых. Знание их свойств и уравнений позволяет решать задачи на построение, доказательство и вычисление расстояний.