Основные аксиомы и теоремы геометрии

  • Геометрия — это математическая наука, изучающая фигуры, их свойства и взаимное расположение. Основой геометрии являются аксиомы и теоремы.

  • Аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства.

  • Теоремы — утверждения, которые доказываются на основе аксиом, определений и других теорем.


Основные аксиомы геометрии

Аксиомы принадлежностиOpen in new tab

  1. Прямая и точки:
    • Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
  2. Точка на прямой:
    • Любая прямая состоит из множества точек.
  3. Плоскость и точки:
    • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.

Аксиомы порядкаOpen in new tab

  1. Расположение точек на прямой:
    • Из трёх точек на прямой одна и только одна находится между двумя другими.
  2. Порядок на отрезке:
    • Точка делит отрезок на две части, длина которых в сумме равна длине всего отрезка.

Аксиомы параллельностиOpen in new tab

  1. Аксиома Евклида:
    • Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Аксиомы измеренияOpen in new tab

  1. Измерение отрезков:
    • Каждому отрезку соответствует некоторое число (его длина).
  2. Измерение углов:
    • Каждому углу можно поставить в соответствие число (его градусная мера).

Аксиомы движенияOpen in new tab

  1. Сохранение расстояний:
    • При перемещении точки сохраняются расстояния между ними.
  2. Сохранение углов:
    • При перемещении углы сохраняют свою величину.

Основные теоремы геометрии

Теорема о сумме углов треугольникаOpen in new tab

Формулировка: Сумма углов любого треугольника равна 180180^\circ.

α+β+γ=180.\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.

Теорема ПифагораOpen in new tab

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c2=a2+b2,c^2 = a^2 + b^2,

где aa и bb — катеты, cc — гипотенуза.


Теорема о пропорциональных отрезкахOpen in new tab

Формулировка: Если прямая параллельна одной из сторон треугольника и пересекает две другие стороны, то она делит эти стороны на пропорциональные отрезки.


Теорема о средней линии треугольникаOpen in new tab

Формулировка: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.


Теорема о вписанном углеOpen in new tab

Формулировка: Вписанный угол окружности равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ABC=12AOC,\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC,

где AA, BB, CC — точки на окружности, а OO — её центр.


Теорема о равенстве вертикальных угловOpen in new tab

Формулировка: Вертикальные углы равны.

1=2.\angle 1 = \angle 2.

Теорема синусовOpen in new tab

Формулировка: В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

asinα=bsinβ=csinγ=2R,\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R,

где RR — радиус описанной окружности.


Теорема косинусовOpen in new tab

Формулировка: В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

c2=a2+b22abcosγ.c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma.

Примеры

Пример 1: Сумма углов треугольника

В треугольнике два угла равны 4040^\circ и 6060^\circ. Найдите третий угол.

Решение: Сумма углов треугольника равна 180180^\circ:

γ=180(40+60)=80.\gamma = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 80^\circ.

Ответ: Третий угол равен 8080^\circ.


Пример 2: Применение теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике катеты равны 33 и 44. Найдите гипотенузу.

Решение: Используем теорему Пифагора:

c2=a2+b2=32+42=9+16=25.c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.c=25=5.c = \sqrt{25} = 5.

Ответ: Гипотенуза равна 55.


Пример 3: Применение теоремы о средней линии

В треугольнике сторона равна 1010, а средняя линия, параллельная ей, равна xx. Найдите xx.

Решение: Средняя линия равна половине стороны:

x=102=5.x = \frac{10}{2} = 5.

Ответ: Средняя линия равна 55.


Задачи для закрепления

  1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 66 и 88.
  2. В треугольнике два угла равны 5050^\circ и 7070^\circ. Найдите третий угол.
  3. Постройте пропорцию для отрезков, если в треугольнике проведена линия, параллельная одной из сторон.

Заключение

Аксиомы и теоремы геометрии являются фундаментом для изучения свойств фигур, их расположения и взаимосвязей. Знание этих основ помогает решать задачи и развивать логическое мышление.