Теорема о равенстве вертикальных углов

Теорема:
Вертикальные углы равны.

Определение

Вертикальные углы — это углы, образованные при пересечении двух прямых, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

• Если две прямые пересекаются, то образуются четыре угла. Вертикальными называются пары углов, которые “напротив друг друга”.

Пример:
Если две прямые пересекаются в точке $OO$, то углы $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ и $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$ являются вертикальными, как и углы $\mathrm{\angle }AOC\backslash angle\; AOC$ и $\mathrm{\angle }BOD\backslash angle\; BOD$.

Доказательство теоремы

1. Рассмотрим две пересекающиеся прямые $ABAB$ и $CDCD$, которые пересекаются в точке $OO$.
2. Образуются углы: $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$, $\mathrm{\angle }BOC\backslash angle\; BOC$, $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$, $\mathrm{\angle }DOA\backslash angle\; DOA$.
3. Углы $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ и $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$ — вертикальные.
4. Прямые $ABAB$ и $CDCD$ образуют смежные углы:$\mathrm{\angle }AOB+\mathrm{\angle }BOC=180^{\circ },\mathrm{\angle }BOC+\mathrm{\angle }COD=180^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; +\; \backslash angle\; BOC\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash quad\; \backslash angle\; BOC\; +\; \backslash angle\; COD\; =\; 180^\backslash circ.$
5. Из первого уравнения:$\mathrm{\angle }AOB=180^{\circ }-\mathrm{\angle }BOC\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash angle\; BOC.$
6. Из второго уравнения:$\mathrm{\angle }COD=180^{\circ }-\mathrm{\angle }BOC\mathrm{.}\backslash angle\; COD\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash angle\; BOC.$
7. Следовательно:$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }COD\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; \backslash angle\; COD.$

Вывод: Вертикальные углы равны.

Свойства вертикальных углов

1. Равенство:
   Вертикальные углы всегда равны.

   $\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }COD,\mathrm{\angle }AOC=\mathrm{\angle }BOD\mathrm{.}\backslash angle\; AOB\; =\; \backslash angle\; COD,\; \backslash quad\; \backslash angle\; AOC\; =\; \backslash angle\; BOD.$

2. Смежные углы:
   Вертикальные углы дополняют смежные углы до $180^{\circ }180^\backslash circ$.

3. Не зависят от направления прямых:
   Равенство вертикальных углов выполняется независимо от положения и направления пересекающихся прямых.

Примеры

Пример 1: Найдите вертикальный угол

Если $\mathrm{\angle }AOB=70^{\circ }\backslash angle\; AOB\; =\; 70^\backslash circ$, найдите $\mathrm{\angle }COD\backslash angle\; COD$.

Решение: Согласно теореме, вертикальные углы равны:

Подставим значение:

Ответ: $\mathrm{\angle }COD=70^{\circ }\backslash angle\; COD\; =\; 70^\backslash circ$.

Пример 2: Смежные углы

Даны пересекающиеся прямые. Угол $\mathrm{\angle }AOB=120^{\circ }\backslash angle\; AOB\; =\; 120^\backslash circ$. Найдите остальные углы.

Решение:

1. Вертикальный угол:

   $\mathrm{\angle }COD=\mathrm{\angle }AOB=120^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; COD\; =\; \backslash angle\; AOB\; =\; 120^\backslash circ.$

2. Смежный угол:

   $\mathrm{\angle }BOC=180^{\circ }-\mathrm{\angle }AOB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; BOC\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash angle\; AOB\; =\; 180^\backslash circ\; -\; 120^\backslash circ\; =\; 60^\backslash circ.$

   Также:

   $\mathrm{\angle }DOA=180^{\circ }-\mathrm{\angle }COD=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; DOA\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash angle\; COD\; =\; 180^\backslash circ\; -\; 120^\backslash circ\; =\; 60^\backslash circ.$

Ответ:
$\mathrm{\angle }COD=120^{\circ },\mathrm{\angle }BOC=60^{\circ },\mathrm{\angle }DOA=60^{\circ }\mathrm{.}\backslash angle\; COD\; =\; 120^\backslash circ,\; \backslash quad\; \backslash angle\; BOC\; =\; 60^\backslash circ,\; \backslash quad\; \backslash angle\; DOA\; =\; 60^\backslash circ.$

Пример 3: Равенство вертикальных углов в задаче

Прямые $ABAB$ и $CDCD$ пересекаются в точке $OO$. Угол $\mathrm{\angle }AOC=45^{\circ }\backslash angle\; AOC\; =\; 45^\backslash circ$. Найдите $\mathrm{\angle }BOD\backslash angle\; BOD$.

Решение: Согласно теореме, вертикальные углы равны:

Ответ: $\mathrm{\angle }BOD=45^{\circ }\backslash angle\; BOD\; =\; 45^\backslash circ$.

Задачи для закрепления

1. Даны вертикальные углы. Один из них равен $35^{\circ }35^\backslash circ$. Найдите другой угол.
2. Угол $\mathrm{\angle }AOB=110^{\circ }\backslash angle\; AOB\; =\; 110^\backslash circ$. Найдите вертикальный и смежные углы.
3. Докажите, что сумма двух вертикальных углов равна сумме двух смежных углов.

Заключение

Теорема о равенстве вертикальных углов — это базовое утверждение в геометрии, которое часто используется при доказательствах и решении задач. Понимание этой теоремы помогает анализировать свойства углов, возникающих при пересечении прямых.