Теорема синусов

Формулировка теоремы

Теорема синусов:
В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла постоянно и равно диаметру описанной окружности.

Для треугольника $ABCABC$: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; \backslash gamma\}\; =\; 2R,$ где: $aa$, $bb$, $cc$ — стороны треугольника, $\alpha \backslash alpha$, $\beta \backslash beta$, $\gamma \backslash gamma$ — углы, противолежащие сторонам, $RR$ — радиус описанной окружности треугольника.

Доказательство теоремы

1. Рассмотрим треугольник $ABCABC$ с описанной окружностью радиуса $RR$.

2. Центр описанной окружности — точка $OO$.

3. Пусть угол $\alpha \backslash alpha$ — противолежащий стороне $aa$, и угол $\beta \backslash beta$ — противолежащий стороне $bb$.

4. Проведём высоту из вершины $CC$ к стороне $ABAB$. Пусть она пересекает $ABAB$ в точке $HH$.

5. Длина высоты $CHCH$:

   $CH=a\sin \beta \mathrm{.}CH\; =\; a\; \backslash sin\; \backslash beta.$

6. Подобным образом для других сторон:

   $CH=b\sin \alpha \mathrm{.}CH\; =\; b\; \backslash sin\; \backslash alpha.$

7. Соотношение сторон:

   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash beta\}.$

8. Радиус описанной окружности связан с соотношением сторон:

   $\frac{a}{\sin \alpha }=2R,\frac{b}{\sin \beta }=2R,\frac{c}{\sin \gamma }=2R\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; 2R,\; \backslash quad\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash beta\}\; =\; 2R,\; \backslash quad\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; \backslash gamma\}\; =\; 2R.$

Вывод:

Свойства теоремы синусов

1. Универсальность:
   Теорема справедлива для всех треугольников (остроугольных, тупоугольных, прямоугольных).

2. Связь с описанной окружностью:
   Радиус описанной окружности можно выразить как:

   $R=\frac{a}{2\sin \alpha }\mathrm{.}R\; =\; \backslash frac\{a\}\{2\; \backslash sin\; \backslash alpha\}.$

3. Применение в задачах:
   Используется для нахождения сторон, углов и радиуса описанной окружности.

Примеры

Пример 1: Нахождение стороны

В треугольнике $ABCABC$ известно:

• $\alpha =30^{\circ }\backslash alpha\; =\; 30^\backslash circ$, $\beta =60^{\circ }\backslash beta\; =\; 60^\backslash circ$, $c=10c\; =\; 10$ см.
  Найдите сторону $aa$.

Решение:

1. Используем теорему синусов:

   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\; \backslash gamma\}.$

2. Найдём угол $\gamma \backslash gamma$:

   $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta =180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }\mathrm{.}\backslash gamma\; =\; 180^\backslash circ\; -\; \backslash alpha\; -\; \backslash beta\; =\; 180^\backslash circ\; -\; 30^\backslash circ\; -\; 60^\backslash circ\; =\; 90^\backslash circ.$

3. Подставим значения:

   $\frac{a}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{\sin 90^{\circ }}\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; 30^\backslash circ\}\; =\; \backslash frac\{10\}\{\backslash sin\; 90^\backslash circ\}.$

   Так как $\sin 30^{\circ }=0.5\backslash sin\; 30^\backslash circ\; =\; 0.5$, $\sin 90^{\circ }=1\backslash sin\; 90^\backslash circ\; =\; 1$:

   $\frac{a}{0.5}=10\Rightarrow a=10\cdot 0.5=5\text{см}\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{0.5\}\; =\; 10\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; a\; =\; 10\; \backslash cdot\; 0.5\; =\; 5\; \backslash ,\; \backslash text\{см\}.$

Ответ: $a=5a\; =\; 5$ см.

Пример 2: Нахождение радиуса описанной окружности

В треугольнике $ABCABC$:

• $a=6a\; =\; 6$, $\alpha =45^{\circ }\backslash alpha\; =\; 45^\backslash circ$.
  Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

1. Используем формулу:

   $R=\frac{a}{2\sin \alpha }\mathrm{.}R\; =\; \backslash frac\{a\}\{2\; \backslash sin\; \backslash alpha\}.$

2. Подставим значения:

   $R=\frac{6}{2\cdot \sin 45^{\circ }}\mathrm{.}R\; =\; \backslash frac\{6\}\{2\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 45^\backslash circ\}.$

   Так как $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\backslash sin\; 45^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$:

   $R=\frac{6}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\mathrm{.}R\; =\; \backslash frac\{6\}\{2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{6\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; 3\backslash sqrt\{2\}.$

Ответ: $R=3\sqrt{2}R\; =\; 3\backslash sqrt\{2\}$.

Пример 3: Проверка равенства

В треугольнике $ABCABC$:

• $a=8a\; =\; 8$, $\alpha =60^{\circ }\backslash alpha\; =\; 60^\backslash circ$, $b=10b\; =\; 10$, $\beta =75^{\circ }\backslash beta\; =\; 75^\backslash circ$.
  Проверьте выполнение теоремы синусов.

Решение:

1. Используем формулу:

   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash beta\}.$

2. Найдём синусы:

   $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 75^{\circ }=\sin (90^{\circ }-15^{\circ })=\cos 15^{\circ }\approx \mathrm{0.966.}\backslash sin\; 60^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\; \backslash quad\; \backslash sin\; 75^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; (90^\backslash circ\; -\; 15^\backslash circ)\; =\; \backslash cos\; 15^\backslash circ\; \backslash approx\; 0.966.$

3. Рассчитаем:

   $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{16}{\sqrt{3}}\mathrm{.}\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{8\}\{\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\}\; =\; \backslash frac\{8\; \backslash cdot\; 2\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\; =\; \backslash frac\{16\}\{\backslash sqrt\{3\}\}.$$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{10}{0.966}\approx \mathrm{10.35.}\backslash frac\{b\}\{\backslash sin\; \backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{10\}\{0.966\}\; \backslash approx\; 10.35.$

4. Результаты показывают близкое равенство с погрешностью вычислений.

Вывод: Теорема синусов выполняется.

Задачи для закрепления

1. В треугольнике $ABCABC$ известно: $a=7a\; =\; 7$, $\alpha =40^{\circ }\backslash alpha\; =\; 40^\backslash circ$, $\beta =70^{\circ }\backslash beta\; =\; 70^\backslash circ$. Найдите сторону $bb$.
2. В треугольнике $ABCABC$ сторона $a=10a\; =\; 10$, угол $\alpha =30^{\circ }\backslash alpha\; =\; 30^\backslash circ$. Найдите радиус описанной окружности.
3. Проверьте выполнение теоремы синусов для треугольника с углами $\alpha =45^{\circ }\backslash alpha\; =\; 45^\backslash circ$, $\beta =45^{\circ }\backslash beta\; =\; 45^\backslash circ$, $\gamma =90^{\circ }\backslash gamma\; =\; 90^\backslash circ$, если $c=10c\; =\; 10$.

Заключение

Теорема синусов — мощный инструмент для анализа треугольников, связанный с углами, сторонами и описанной окружностью. Она позволяет решать широкий спектр задач в геометрии и тригонометрии, обеспечивая простоту и точность вычислений.