Синус

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Если дан прямоугольный треугольник $ABCABC$, где: $\mathrm{\angle }C=90^{\circ }\backslash angle\; C\; =\; 90^\backslash circ$, $\mathrm{\angle }A=\alpha \backslash angle\; A\; =\; \backslash alpha$, $aa$ — противолежащий катет (напротив угла $\alpha \backslash alpha$), $cc$ — гипотенуза, то:

Значение синуса в единичной окружности

Синус угла $\alpha \backslash alpha$ можно также определить как координату $yy$ точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha \backslash alpha$.

• На единичной окружности: $r=1r\; =\; 1$, а $\sin \alpha \backslash sin\; \backslash alpha$ — это ордината точки пересечения радиуса с окружностью.

Основные значения синуса

Свойства синуса

1. Значение синуса:
   Синус угла лежит в диапазоне:

   $-1\le \sin \alpha \le 1.-1\; \backslash leq\; \backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash leq\; 1.$

2. Симметрия:

   • $\sin (-\alpha )=-\sin (\alpha )\backslash sin(-\backslash alpha)\; =\; -\backslash sin(\backslash alpha)$ (нечётная функция).
   • $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin (\alpha )\backslash sin(180^\backslash circ\; -\; \backslash alpha)\; =\; \backslash sin(\backslash alpha)$.

3. Периодичность:
   Синус — периодическая функция:

   $\sin (\alpha +360^{\circ })=\sin (\alpha )\mathrm{.}\backslash sin(\backslash alpha\; +\; 360^\backslash circ)\; =\; \backslash sin(\backslash alpha).$

4. Синус и координатные четверти:

   • В первой и второй четвертях синус положителен.
   • В третьей и четвёртой четвертях синус отрицателен.

Формулы, связанные с синусом

1. Основное тригонометрическое тождество:

   ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

2. Формулы приведения:

   • $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha \backslash sin(180^\backslash circ\; -\; \backslash alpha)\; =\; \backslash sin\; \backslash alpha$,
   • $\sin (180^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha \backslash sin(180^\backslash circ\; +\; \backslash alpha)\; =\; -\backslash sin\; \backslash alpha$,
   • $\sin (360^{\circ }-\alpha )=-\sin \alpha \backslash sin(360^\backslash circ\; -\; \backslash alpha)\; =\; -\backslash sin\; \backslash alpha$.

3. Сумма и разность углов:

   $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \mathrm{.}\backslash sin(\backslash alpha\; \backslash pm\; \backslash beta)\; =\; \backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash cos\; \backslash beta\; \backslash pm\; \backslash cos\; \backslash alpha\; \backslash sin\; \backslash beta.$

4. Двойной угол:

   $\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha \mathrm{.}\backslash sin(2\backslash alpha)\; =\; 2\backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash cos\; \backslash alpha.$

5. Полуразность углов:

   $\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}},\backslash sin\; \backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; =\; \backslash pm\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\; -\; \backslash cos\; \backslash alpha\}\{2\}\},$

   знак зависит от четверти.

Примеры

Пример 1: Нахождение синуса

Дан прямоугольный треугольник с катетами $a=3a\; =\; 3$, $b=4b\; =\; 4$ и гипотенузой $c=5c\; =\; 5$. Найдите $\sin \alpha \backslash sin\; \backslash alpha$, где $\alpha \backslash alpha$ — угол напротив катета $aa$.

Решение: По определению:

Подставим значения:

Ответ: $\sin \alpha =\frac{3}{5}\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{3\}\{5\}$.

Пример 2: Использование формулы суммы углов

Найдите $\sin (75^{\circ })\backslash sin(75^\backslash circ)$, зная, что $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }75^\backslash circ\; =\; 45^\backslash circ\; +\; 30^\backslash circ$.

Решение: Используем формулу суммы углов:

Подставим значения:

Ответ: $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\backslash sin\; 75^\backslash circ\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{6\}\; +\; \backslash sqrt\{2\}\}\{4\}$.

Пример 3: Проверка основного тождества

Дано: $\sin \alpha =\frac{4}{5}\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}$. Найдите $\cos \alpha \backslash cos\; \backslash alpha$.

Решение: Используем основное тригонометрическое тождество:

Подставим $\sin \alpha =\frac{4}{5}\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{4\}\{5\}$:

Ответ: $\cos \alpha =\pm \frac{3}{5}\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash pm\backslash frac\{3\}\{5\}$.

Задачи для закрепления

1. Найдите $\sin 60^{\circ }\backslash sin\; 60^\backslash circ$ и $\sin 45^{\circ }\backslash sin\; 45^\backslash circ$.
2. Дано: $\sin \alpha =0.6\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; 0.6$. Найдите $\cos \alpha \backslash cos\; \backslash alpha$.
3. Вычислите $\sin (120^{\circ })\backslash sin(120^\backslash circ)$, используя формулу приведения.
4. Доказать, что $\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha \backslash sin(2\backslash alpha)\; =\; 2\backslash sin\; \backslash alpha\; \backslash cos\; \backslash alpha$.

Заключение

Синус — это одна из ключевых тригонометрических функций, которая используется для решения задач, связанных с углами, сторонами треугольников и тригонометрическими уравнениями. Знание свойств и формул синуса позволяет эффективно работать с тригонометрией в геометрии, физике и математике.