Аксиомы параллельности

Аксиомы параллельности — это основные утверждения, которые описывают свойства и отношения параллельных прямых, плоскостей и их взаимодействие. Эти аксиомы служат базой для изучения параллельных объектов в геометрии.

Основные аксиомы параллельности

1. Аксиома Евклида

Формулировка:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Значение:
Аксиома Евклида вводит понятие параллельных прямых, которые никогда не пересекаются и остаются на постоянном расстоянии друг от друга.

Пример:
Прямая $ll$ и точка $AA$, не лежащая на $ll$. Существует только одна прямая $mm$, проходящая через $AA$ и параллельная $ll$.

2. Аксиома параллельности плоскостей

Формулировка:
Если две прямые параллельны одной и той же плоскости и не пересекаются, то они параллельны друг другу.

Значение:
Эта аксиома описывает свойства параллельных прямых в пространстве относительно плоскости.

Пример:
Если прямые $aa$ и $bb$ не пересекаются и обе параллельны плоскости $\pi \backslash pi$, то $a\parallel ba\; \backslash parallel\; b$.

3. Аксиома параллельных прямых в плоскости

Формулировка:
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Значение:
Эта аксиома позволяет установить транзитивность параллельности.

Пример:
Если $a\parallel ca\; \backslash parallel\; c$ и $b\parallel cb\; \backslash parallel\; c$, то $a\parallel ba\; \backslash parallel\; b$.

Свойства, вытекающие из аксиом параллельности

1. Угол между параллельными прямыми:

   • Угол между параллельными прямыми равен $0^{\circ }0^\backslash circ$, так как они не пересекаются.

2. Пересечение параллельных прямых плоскостью:

   • Если две параллельные прямые пересекают плоскость, то линии пересечения параллельны.

3. Параллельность отрезков:

   • Если отрезки лежат на параллельных прямых, то они также параллельны.

Уравнение параллельных прямых на плоскости

Если даны две прямые на плоскости, их параллельность определяется по угловым коэффициентам $kk$. Прямые параллельны, если:

где уравнения прямых заданы в виде $y=kx+by\; =\; kx\; +\; b$.

Примеры

Пример 1: Проведение параллельной прямой

Через точку $A(2,3)A(2,\; 3)$ проведите прямую, параллельную прямой $y=2x+1y\; =\; 2x\; +\; 1$.

Решение:

• Угловой коэффициент прямой $y=2x+1y\; =\; 2x\; +\; 1$ равен $k=2k\; =\; 2$.
• Прямая, проходящая через точку $A(2,3)A(2,\; 3)$, имеет вид $y=2x+by\; =\; 2x\; +\; b$.
• Подставим координаты точки $A(2,3)A(2,\; 3)$:$3=2\cdot 2+b\Rightarrow b=-1.3\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; +\; b\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; b\; =\; -1.$
• Уравнение прямой:$y=2x-1.y\; =\; 2x\; -\; 1.$

Ответ: $y=2x-1y\; =\; 2x\; -\; 1$.

Пример 2: Проверка параллельности

Прямые $y=3x+2y\; =\; 3x\; +\; 2$ и $y=3x-5y\; =\; 3x\; -\; 5$. Параллельны ли они?

Решение:

• Угловой коэффициент первой прямой $k_1=3k\_1\; =\; 3$.
• Угловой коэффициент второй прямой $k_2=3k\_2\; =\; 3$.
• Поскольку $k_1=k_{2}k\_1\; =\; k\_2$ и $b_1\mathrm{\ne }{b}_{2}b\_1\; \backslash neq\; b\_2$, прямые параллельны.

Ответ: Прямые параллельны.

Пример 3: Три параллельные прямые

Прямые $aa$, $bb$, и $cc$ заданы уравнениями:

• $a:y=4x+1a:\; y\; =\; 4x\; +\; 1$,
• $b:y=4x-3b:\; y\; =\; 4x\; -\; 3$,
• $c:y=4x+5c:\; y\; =\; 4x\; +\; 5$.

Докажите, что $a\parallel ba\; \backslash parallel\; b$ и $b\parallel cb\; \backslash parallel\; c$, значит, $a\parallel ca\; \backslash parallel\; c$.

Решение:

• Угловой коэффициент всех прямых $k=4k\; =\; 4$.
• Поскольку $k_1=k_2=k_{3}k\_1\; =\; k\_2\; =\; k\_3$, все три прямые параллельны.

Ответ: Прямые $aa$, $bb$, и $cc$ параллельны.

Задачи для закрепления

1. Через точку $A(1,-2)A(1,\; -2)$ проведите прямую, параллельную $y=-x+4y\; =\; -x\; +\; 4$.
2. Проверьте, являются ли параллельными прямые $y=5x+2y\; =\; 5x\; +\; 2$ и $y=5x-8y\; =\; 5x\; -\; 8$.
3. Доказать, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Заключение

Аксиомы параллельности играют важную роль в геометрии, обеспечивая фундамент для изучения отношений между прямыми и плоскостями. Эти аксиомы лежат в основе многих теорем и позволяют анализировать и строить геометрические фигуры с использованием свойств параллельных объектов.