Аксиомы параллельности

Аксиомы параллельности — это основные утверждения, которые описывают свойства и отношения параллельных прямых, плоскостей и их взаимодействие. Эти аксиомы служат базой для изучения параллельных объектов в геометрии.

Основные аксиомы параллельности

1. Аксиома Евклида

Формулировка:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Значение:
Аксиома Евклида вводит понятие параллельных прямых, которые никогда не пересекаются и остаются на постоянном расстоянии друг от друга.

Пример:
Прямая $l$ и точка $A$ , не лежащая на $l$ . Существует только одна прямая $m$ , проходящая через $A$ и параллельная $l$ .

2. Аксиома параллельности плоскостей

Формулировка:
Если две прямые параллельны одной и той же плоскости и не пересекаются, то они параллельны друг другу.

Значение:
Эта аксиома описывает свойства параллельных прямых в пространстве относительно плоскости.

Пример:
Если прямые $a$ и $b$ не пересекаются и обе параллельны плоскости $π \pi$ , то $a \parallel b$ .

3. Аксиома параллельных прямых в плоскости

Формулировка:
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Значение:
Эта аксиома позволяет установить транзитивность параллельности.

Пример:
Если $a \parallel c$ и $b \parallel c$ , то $a \parallel b$ .

Свойства, вытекающие из аксиом параллельности

Угол между параллельными прямыми:
- Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$ , так как они не пересекаются.
Пересечение параллельных прямых плоскостью:
- Если две параллельные прямые пересекают плоскость, то линии пересечения параллельны.
Параллельность отрезков:
- Если отрезки лежат на параллельных прямых, то они также параллельны.

Уравнение параллельных прямых на плоскости

Если даны две прямые на плоскости, их параллельность определяется по угловым коэффициентам $k$ . Прямые параллельны, если:

k_1 = k_2 \quad \text{и} \quad b_1 \neq b_2,

где уравнения прямых заданы в виде $y = k x + b$ .

Примеры

Пример 1: Проведение параллельной прямой

Через точку $A (2, 3)$ проведите прямую, параллельную прямой $y = 2 x + 1$ .

Решение:

Угловой коэффициент прямой $y = 2 x + 1$ равен $k = 2$ .
Прямая, проходящая через точку $A (2, 3)$ , имеет вид $y = 2 x + b$ .
Подставим координаты точки $A (2, 3)$ : $3 = 2 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = -1.$
Уравнение прямой: $y = 2 x - 1.$

Ответ: $y = 2 x - 1$ .

Пример 2: Проверка параллельности

Прямые $y = 3 x + 2$ и $y = 3 x - 5$ . Параллельны ли они?

Решение:

Угловой коэффициент первой прямой $k_{1} = 3$ .
Угловой коэффициент второй прямой $k_{2} = 3$ .
Поскольку $k_{1} = k_{2}$ и $b_1 \neq b_2$ , прямые параллельны.

Ответ: Прямые параллельны.

Пример 3: Три параллельные прямые

Прямые $a$ , $b$ , и $c$ заданы уравнениями:

$a : y = 4 x + 1$ ,
$b : y = 4 x - 3$ ,
$c : y = 4 x + 5$ .

Докажите, что $a \parallel b$ и $b \parallel c$ , значит, $a \parallel c$ .

Решение:

Угловой коэффициент всех прямых $k = 4$ .
Поскольку $k_{1} = k_{2} = k_{3}$ , все три прямые параллельны.

Ответ: Прямые $a$ , $b$ , и $c$ параллельны.

Задачи для закрепления

Через точку $A (1, - 2)$ проведите прямую, параллельную $y = - x + 4$ .
Проверьте, являются ли параллельными прямые $y = 5 x + 2$ и $y = 5 x - 8$ .
Доказать, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Заключение

Аксиомы параллельности играют важную роль в геометрии, обеспечивая фундамент для изучения отношений между прямыми и плоскостями. Эти аксиомы лежат в основе многих теорем и позволяют анализировать и строить геометрические фигуры с использованием свойств параллельных объектов.