Аксиомы движения

Аксиомы движения — это основные утверждения в геометрии, которые описывают свойства преобразований, сохраняющих расстояния между точками, а также углы между прямыми. Такие преобразования называются движениями (или изометриями).

Примеры движений: параллельный перенос, вращение, отражение.

Основные аксиомы движения

1. Аксиома сохранения расстояний

Формулировка:
При любом движении расстояние между двумя точками остаётся неизменным.

Значение:
Это аксиома гарантирует, что движение не изменяет длины отрезков.

Пример:
Если точки $AA$ и $BB$ имеют расстояние $\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }|AB|$, то после движения точки $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ и $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ сохраняют расстояние:

2. Аксиома сохранения углов

Формулировка:
При любом движении величина углов остаётся неизменной.

Значение:
Это аксиома обеспечивает сохранение формы геометрических фигур при движении.

Пример:
Если угол $\mathrm{\angle }ABC=60^{\circ }\backslash angle\; ABC\; =\; 60^\backslash circ$, то после движения угол $\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}\backslash angle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ будет равен:

3. Аксиома сохранения прямолинейности

Формулировка:
При любом движении прямая остаётся прямой, а точки, лежащие на одной прямой до движения, остаются на одной прямой после движения.

Значение:
Движение не нарушает структуры прямых линий.

Пример:
Если точки $AA$, $BB$, и $CC$ лежат на одной прямой, то после движения точки $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$, $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$, и $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ тоже будут лежать на одной прямой.

4. Аксиома сохранения параллельности

Формулировка:
При любом движении параллельные прямые остаются параллельными.

Значение:
Это аксиома гарантирует, что движение сохраняет взаимное расположение прямых.

Пример:
Если прямые $a\parallel ba\; \backslash parallel\; b$, то после движения прямые $a^{\mathrm{\prime }}a\text{'}$ и $b^{\mathrm{\prime }}b\text{'}$ также будут параллельны: $a^{\mathrm{\prime }}\parallel b^{\mathrm{\prime }}a\text{'}\; \backslash parallel\; b\text{'}$.

5. Аксиома сохранения порядка точек

Формулировка:
Если точка $CC$ лежит между точками $AA$ и $BB$, то после движения точка $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ будет лежать между $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ и $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$.

Значение:
Движение сохраняет порядок точек на прямой.

Пример:
Если $AA$, $CC$, и $BB$ расположены в порядке $A-C-BA\; -\; C\; -\; B$, то после движения точки $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$, $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$, $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ сохранят тот же порядок.

Примеры движений

1. Параллельный перенос:

   • Все точки фигуры перемещаются на одно и то же расстояние в одном направлении.
   • Расстояния и углы остаются неизменными.

2. Вращение:

   • Все точки фигуры вращаются вокруг фиксированной точки (центра вращения) на один и тот же угол.
   • Расстояния от точек до центра вращения и углы сохраняются.

3. Отражение:

   • Все точки фигуры отображаются относительно прямой (оси отражения).
   • Расстояния от оси отражения и углы сохраняются.

Примеры задач

Пример 1: Сохранение расстояний

Точки $AA$ и $BB$ находятся на расстоянии $55$ см. После движения точки $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ и $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ получены. Найдите расстояние $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}A\text{'}B\text{'}$.

Решение: Согласно аксиоме сохранения расстояний, после движения:

Ответ: $\mathrm{\mid }{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=5|A\text{'}B\text{'}|\; =\; 5$ см.

Пример 2: Сохранение углов

Угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ равен $90^{\circ }90^\backslash circ$. После отражения относительно прямой угол $\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}\backslash angle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ был получен. Найдите величину угла $\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}\backslash angle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.

Решение: Согласно аксиоме сохранения углов:

Ответ: $\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=90^{\circ }\backslash angle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}\; =\; 90^\backslash circ$.

Пример 3: Сохранение параллельности

Даны параллельные прямые $a\parallel ba\; \backslash parallel\; b$. После вращения вокруг точки $OO$ на угол $45^{\circ }45^\backslash circ$ прямые $a^{\mathrm{\prime }}a\text{'}$ и $b^{\mathrm{\prime }}b\text{'}$ были получены. Проверьте, остаются ли они параллельными.

Решение: Согласно аксиоме сохранения параллельности, после вращения:

Ответ: Прямые $a^{\mathrm{\prime }}a\text{'}$ и $b^{\mathrm{\prime }}b\text{'}$ остаются параллельными.

Задачи для закрепления

1. Точка $CC$ лежит на отрезке $ABAB$. После параллельного переноса точки $AA$, $BB$, и $CC$ перешли в $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$, $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$, и $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$. Докажите, что точка $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ лежит на отрезке $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}A\text{'}B\text{'}$.
2. Угол $60^{\circ }60^\backslash circ$ повернули вокруг точки $OO$ на $90^{\circ }90^\backslash circ$. Найдите величину нового угла.
3. Докажите, что отражение треугольника относительно прямой сохраняет его форму и размеры.

Заключение

Аксиомы движения лежат в основе изучения преобразований фигур в геометрии. Они обеспечивают сохранение ключевых характеристик объектов, таких как длины, углы, порядок точек, что делает движение важным инструментом для анализа геометрических объектов.