Теорема о пропорциональных отрезках

Формулировка теоремы

Теорема:
Если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие его стороны, то она делит эти стороны на пропорциональные отрезки.

Обозначения

• Пусть дан треугольник $ABCABC$, где $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$, и прямая $DEDE$ пересекает стороны $ABAB$ и $ACAC$ в точках $DD$ и $EE$ соответственно.
• Тогда выполняется пропорция:

Доказательство теоремы

1. Рассмотрим треугольники $ADEADE$ и $ABCABC$.
2. Поскольку $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$, углы $\mathrm{\angle }ADE\backslash angle\; ADE$ и $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ равны (по соответственным углам), а также углы $\mathrm{\angle }DEA\backslash angle\; DEA$ и $\mathrm{\angle }BCA\backslash angle\; BCA$ равны.
3. Треугольники $ADEADE$ и $ABCABC$ подобны (по двум углам).
4. Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны:

5. Выразим отношение отрезков $DBDB$ и $ECEC$:

6. Приводя к общей форме, получаем:

Вывод: Теорема доказана.

Обратная теорема

Если прямая делит две стороны треугольника на пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне.

Следствия из теоремы

1. Серединная линия треугольника:

   • Если прямая делит стороны треугольника пополам, то она параллельна третьей стороне.

2. Пропорциональность отрезков на параллельных прямых:

   • Если несколько параллельных прямых пересекают две секущие, то отрезки на одной секущей пропорциональны соответствующим отрезкам на другой.

Примеры

Пример 1: Нахождение пропорции

В треугольнике $ABCABC$ прямая $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$ пересекает стороны $ABAB$ и $ACAC$ в точках $DD$ и $EE$. Длины отрезков: $AD=3AD\; =\; 3$, $DB=5DB\; =\; 5$, $AE=4AE\; =\; 4$. Найдите $ECEC$.

Решение: По теореме о пропорциональных отрезках:

Подставим значения:

Найдём $ECEC$:

Ответ: $EC=\frac{20}{3}EC\; =\; \backslash frac\{20\}\{3\}$.

Пример 2: Проверка параллельности

В треугольнике $ABCABC$ на сторонах $ABAB$ и $ACAC$ отложены точки $DD$ и $EE$, причём:

Докажите, что $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$.

Решение: Согласно обратной теореме, если отрезки $ADAD$, $DBDB$ и $AEAE$, $ECEC$ пропорциональны, то $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$.

Ответ: Прямая $DEDE$ параллельна $BCBC$.

Пример 3: Пропорции на параллельных прямых

Несколько параллельных прямых пересекают две секущие $l_{1}l\_1$ и $l_{2}l\_2$, образуя на $l_{1}l\_1$ отрезки $a_{1}a\_1$, $a_{2}a\_2$, $a_{3}a\_3$ и на $l_{2}l\_2$ отрезки $b_{1}b\_1$, $b_{2}b\_2$, $b_{3}b\_3$. Докажите, что:

Решение: Каждая параллельная прямая делит секущие в одинаковом соотношении. Отсюда следует пропорция.

Ответ: Соотношение пропорциональности выполнено.

Задачи для закрепления

1. В треугольнике $ABCABC$ прямая $DE\parallel BCDE\; \backslash parallel\; BC$, причём $AD=4AD\; =\; 4$, $DB=6DB\; =\; 6$, $AE=5AE\; =\; 5$. Найдите $ECEC$.
2. Докажите, что если прямая делит две стороны треугольника пополам, то она параллельна третьей стороне.
3. На двух секущих параллельные прямые образуют отрезки: $33$, $66$, $99$ и $22$, $44$, $66$. Проверьте пропорциональность.

Заключение

Теорема о пропорциональных отрезках — одно из важных утверждений в геометрии. Она находит применение при работе с подобными треугольниками, параллельными прямыми и отношениями между отрезками. Понимание этой теоремы упрощает решение многих задач.