Теорема о вписанном угле

Формулировка теоремы

Теорема:
Вписанный угол окружности равен половине дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

1. Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность или касаются её.
   Обозначается как $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, где $BB$ — вершина, а $AA$ и $CC$ — точки пересечения сторон угла с окружностью.

2. Центральный угол - угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность.

Формулировка в виде равенства

Если $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ — вписанный угол, а дуга $ACAC$ — дуга окружности, на которую он опирается, то:

Если вписанный угол опирается на центральный угол $\mathrm{\angle }AOC\backslash angle\; AOC$, то:

Доказательство теоремы

Случай 1: Центр окружности внутри вписанного угла

1. Рассмотрим треугольник $OABOAB$, где $OO$ — центр окружности.
2. Угол $\mathrm{\angle }AOB\backslash angle\; AOB$ — центральный угол, а $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ — вписанный угол.
3. В треугольнике $OABOAB$ угол $\mathrm{\angle }OAB\backslash angle\; OAB$ является внешним углом, равным сумме внутренних углов:$\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OBA+\mathrm{\angle }ABC\mathrm{.}\backslash angle\; OAB\; =\; \backslash angle\; OBA\; +\; \backslash angle\; ABC.$
4. Поскольку треугольник равнобедренный ($OA=OBOA\; =\; OB$), то $\mathrm{\angle }OBA=\mathrm{\angle }OAB\backslash angle\; OBA\; =\; \backslash angle\; OAB$. Следовательно:$2\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }AOB\mathrm{.}2\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash angle\; AOB.$
5. Таким образом:$\mathrm{\angle }ABC=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB\mathrm{.}\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash angle\; AOB.$

Случай 2: Центр окружности на одной из сторон вписанного угла

1. Угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ разбивается на два вписанных угла, каждый из которых равен половине центрального угла.
2. Для каждого из этих углов доказательство аналогично первому случаю.

Случай 3: Центр окружности вне вписанного угла

1. Угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ дополняется до полного угла, и доказательство аналогично первому случаю.

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
   • Если $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ и $\mathrm{\angle }ADC\backslash angle\; ADC$ опираются на дугу $ACAC$, то:

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

   • Если $ABAB$ — диаметр окружности, то $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }\backslash angle\; ACB\; =\; 90^\backslash circ$.

3. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

   • Если $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ вписан, а $\mathrm{\angle }AOC\backslash angle\; AOC$ — центральный, то:

Примеры

Пример 1: Нахождение вписанного угла

Дуга $ACAC$ окружности равна $120^{\circ }120^\backslash circ$. Найдите вписанный угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$, опирающийся на эту дугу.

Решение: По теореме о вписанном угле:

Ответ: $\mathrm{\angle }ABC=60^{\circ }\backslash angle\; ABC\; =\; 60^\backslash circ$.

Пример 2: Угол, опирающийся на диаметр

Диаметр $ABAB$ окружности. Найдите вписанный угол $\mathrm{\angle }ACB\backslash angle\; ACB$.

Решение: Если угол опирается на диаметр, то он равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Ответ: $\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }\backslash angle\; ACB\; =\; 90^\backslash circ$.

Пример 3: Проверка равенства углов

Даны два вписанных угла $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ и $\mathrm{\angle }ADC\backslash angle\; ADC$, опирающиеся на одну дугу $ACAC$. Докажите, что $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash angle\; ADC$.

Решение: По следствию из теоремы о вписанном угле, все углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Ответ: $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC\backslash angle\; ABC\; =\; \backslash angle\; ADC$.

Задачи для закрепления

1. Вписанный угол $\mathrm{\angle }ABC\backslash angle\; ABC$ равен $50^{\circ }50^\backslash circ$. Найдите центральный угол $\mathrm{\angle }AOC\backslash angle\; AOC$, опирающийся на ту же дугу.
2. Найдите вписанный угол, если дуга, на которую он опирается, равна $180^{\circ }180^\backslash circ$.
3. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }90^\backslash circ$.

Заключение

Теорема о вписанном угле — это фундаментальное утверждение, связанное с окружностью. Она широко применяется в решении геометрических задач, связанных с углами, дугами и свойствами окружности. Понимание этой теоремы упрощает анализ свойств фигур и построение доказательств.